Leyes de Kirchhoff. Física.

Introducción

En ciertos circuitos eléctricos es difícil cuantificar corrientes, voltajes y resistencias mediante la aplicación de las ecuaciones de circuitos en serie y paralelo. En otras ocasiones no se pueden aplicar, ya que no presentan componentes unidos en esta forma o resulta complejo hacerlo. En estos casos, existe un método más adecuado y general basado en las leyes de Kirchhoff – Gustav Robert Kirchhoff (1839-1894), físico alemán pionero del análisis de los circuitos eléctricos a mediados del siglo XIX, ligado también al descubrimiento del análisis espectral en colaboración con Bunsen.

Primera ley de Kirchhoff

La primera ley de Kirchhoff establece que la suma de todas las intensidades de corriente que llegan a un nodo (punto donde se unen varios conductores) de un circuito es igual a la suma de todas las intensidades de corriente que salen del mismo. Por convención, las corrientes que entran a un nodo son positivas y las que salen, negativas.

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

Figura 1. Descripción de un circuito eléctrico.

Segunda ley de Kirchhoff

En un circuito cerrado o malla, la suma de la fuerza electromotriz (fem) que proporcionan las fuentes de energía es igual a la suma de caídas de tensión (voltaje) IR que presentan en cada una de las resistencias del circuito.

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{I \ R}$

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{V}$

Al examinar el interior de un televisor, computadora, grabadora, aparato estereofónico o automóvil, se ven circuitos electrónicos complejos conectados por alambres o integrados en chips que tienen varias fuentes de energía, resistores y otros dispositivos interconectados en una red.

En estos circuitos electrónicos se conocen generalmente algunas fem, resistencias y corrientes, y aquí, mediante la aplicación de las leyes de Kirchhoff, es posible conocer el voltaje o la corriente. Por eso, en la resolución de circuitos eléctricos se deben hacer las siguientes consideraciones:

Las corrientes que entran a un nodo son positivas y las que salen, negativas.
Se deben suponer inicialmente el sentido de las corrientes.
Si el resultado numérico de una corriente es negativo, indica que el sentido correcto es el contrario.
Hay que hacer el recorrido de las mallas del circuito en un mismo sentido; por ejemplo, el de las manecillas del reloj.
Si al hacer el recorrido de la malla se encuentra primero la terminal negativa de la batería, la fem se considera positiva.
Si al hacer el recorrido éste tiene el mismo sentido que el de las corrientes supuestas, la caída de tensión (IR) se considera positiva.

Figura 2. Circuitos electrónicos.

Problemas resueltos

Problema 1. Aplicando la primera ley de Kirchhoff al siguiente circuito eléctrico, determinar el valor de las intensidades $I_4$ , $I_5$ , $I_7$ y $I_8$ .

Solución. Se realiza la ubicación del sentido de corrientes y se identifican los nodos.

Se aplica la primera ley de Kirchhoff en el nodo A.

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

$\displaystyle I_1 = I_2 + I_3 + I_4$

Sustituyendo

$\displaystyle 12 = 3 + 4 + I_4$

$\displaystyle 5 \ (A) = I_4$

$\displaystyle \therefore I_4 = 5 \ (A)$

Se aplica la primera ley de Kirchhoff en el nodo B.

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

$\displaystyle I_2 + I_3 + I_4 = I_5$

Sustituyendo

$\displaystyle 3 + 4 + 5 = I_5$

$\displaystyle 12 \ (A) = I_5$

$\displaystyle \therefore I_5 = 12 \ (A)$

Aplicando el mismo procedimiento para el nodo C.

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

$\displaystyle I_5 = I_6 + I_7$

Sustituyendo

$\displaystyle 12 = 8 + I_7$

$\displaystyle 12 - 8 = I_7$

$\displaystyle 12 - 8 \ (A) = I_7$

$\displaystyle \therefore I_7 = 4 \ (A)$

Y en el nodo D

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

$\displaystyle I_6 + I_7 = I_8$

Sustituyendo

$\displaystyle 8 + 4 = I_8$

$\displaystyle 12 \ (A) = I_8$

$\displaystyle \therefore I_8 = 12 \ (A)$

Se concluye que los valores de cada valor de la intensidad es $I_4 = 5 \ (A)$ , $I_5 = 12 \ (A)$ , $I_7 = 4 \ (A)$ y $I_8 = 12 \ (A)$ ; se obserca que todos los signos de cada resultado son positivos, esto significa que los sentidos supuestos de las corrientes son correctos.

Problema 2. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito eléctrico siguiente, determinar los valores de las corrientes $I_1$ e $I_2$ .

Solución. Se realiza la suposición del sentido de las corrientes.

Después, se aplica la segunda ley de Kirchhoff a la malla 1.

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{I \ R}$

$\displaystyle -\text{fem}_1 - \text{fem}_2 = I_1 R_1$

Las fem son negativas debido a que al momento de realizar el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj, se encuentra en cada caso primero la terminal positiva de la batería, mientras que $I_1 R_1$ es positivo debido a que presenta el mismo sentido del recorrido.

Realizando la sustitución

$\displaystyle - 6 - 4 = I_1 (7)$

$\displaystyle - 10 = 7 I_1$

$\displaystyle - \frac{10}{7} = I_1$

$\displaystyle - 1.42 \ (A) = I_1$

$\displaystyle \therefore I_1 = - 1.42 \ (A)$

Este resultado tiene un signo negativo, lo que indica que el sentido correcto es contrario al supuesto.

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 2.

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{I \ R}$

$\displaystyle + \text{fem}_2 + \text{fem}_3 = - I_2 R_2$

Las fem son positivas debido a que al momento de realizar el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj, se encuentra en cada caso primero la terminal negativa de la batería, mientras que $I_2 R_2$ es negativo porque presenta el recorrido en sentido opuesto.

Realizando la sustitución

$\displaystyle + 4 + 8 = - I_2 (5)$

$\displaystyle 12 = - 5 I_2$

$\displaystyle \frac{12}{-5} = I_2$

$\displaystyle - 2.4 \ (A) = I_2$

$\displaystyle \therefore I_2 = - 2.4 \ (A)$

Este resultado tiene un signo negativo, lo que indica que el sentido correcto es contrario al supuesto.

Finalmente, los resultados obtenidos son $I_1 = - 1.42 \ (A)$ y $I_2 = -2.4 \ (A)$ .

Problema. Aplicando la primera y segunda ley de Kirchhoff al circuito eléctrico siguiente, calcular el valor de las corrientes $I_1$ , $I_2$ e $I_3$ .

Solución. Se realiza el supuesto recorrido del sentido de las corrientes

Despues, aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 1, resulta que

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{I R}$

$\displaystyle \text{fem}_1 = I_1 R_1 + I_3 R_3$

La primera fem es positiva ya que al recorrido en el sentido de las manecillas el reloj se encuentra primero la terminal negativa mientras que $I_1 R_1$ y $I_3 R_3$ . Sustituyendo

$\displaystyle 10 = I_1 (6) + I_3 (2)$

$\displaystyle 10 = 6I_1 + 2I_3$

$\displaystyle 6I_1 + 2I_3 = 10$

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff a la malla 2, resulta que

$\displaystyle \sum{\text{fem}} = \sum{I R}$

$\displaystyle - \text{fem}_1 - \text{fem}_2 = - I_1 R_1 + I_2 R_2$

La primera y segunda fem son negativas ya que al recorrido en el sentido de las manecillas el reloj se encuentra primero la terminal positiva, $I_1 R_1$ es negativa porque al hacer el recorrido el sentido supuesto es contrario y para $I_2 R_2$ resulta positivo porque el recorrido repite el sentido supuesto (va en la misma dirección). Sustituyendo

$\displaystyle - 10 - 14 = - I_1 (6) + I_2 (4)$

$\displaystyle - 24 = - 6I_1 + 4I_2$

$\displaystyle - 6I_1 + 4I_2 = - 24$

Luego, utilizando la primera ley de Kirchhoff al nodo A

$\displaystyle \sum{I_{entrada}} = \sum{I_{salida}}$

$\displaystyle I_3 = I_1 + I_2$

Así que, se tiene este sistema de ecuaciones

$\displaystyle 6 I_1 + 2 I_3 = 10$ – – – (1)

$\displaystyle -6 I_1 + 4 I_2 = -24$ – – – (2)

$\displaystyle I_3 = I_1 + I_2$ – – – (3)

Sustituyendo la ecuación (3) en (1), resulta

$\displaystyle 6 I_1 + 2 I_3 = 10$

$\displaystyle 6 I_1 + 2 (I_1 + I_2) = 10$

$\displaystyle 6 I_1 + 2 I_1 + 2 I_2 = 10$

$\displaystyle 8 I_1 + 2 I_2 = 10$

Despejando $I_2$

$\displaystyle 2 I_2 = 10 - 8 I_1$

$\displaystyle I_2 = \frac{10 - 8 I_1}{2}$

$\displaystyle I_2 = \frac{10}{2} - \frac{8 I_1}{2}$

$\displaystyle I_2 = 5 - 4 I_1$

Sustituyendo este despeje con la ecuación (2)

$\displaystyle -6 I_1 + 4 I_2 = -24$

$\displaystyle -6 I_1 + 4 (5 - 4 I_1) = -24$

$\displaystyle -6 I_1 + 20 - 16 I_1 = -24$

$\displaystyle - 22 I_1 = -24 - 20$

$\displaystyle -22 I_1 = - 44$

$\displaystyle I_1 = \frac{-44}{-22}$

$\displaystyle \therefore I_1 = 2 \ (A)$

Sustituyendo en la ecuación despajada

$\displaystyle I_2 = 5 - 4 I_1$

$\displaystyle I_2 = 5 - 4 (2)$

$\displaystyle I_2 = 5 - 8$

$\displaystyle \therefore I_2 = - 3 \ (A)$

Una vez obtenido los valores de $I_1$ y $I_2$ , se sustituye en la ecuación (3)

$\displaystyle I_3 = I_1 + I_2$

$\displaystyle I_3 = 2 - 3$

$\displaystyle \therefore I_3 = - 1 \ (A)$

Se concluye que $I_1 = 2 \ (A)$ , $I_2 = - 3 \ (A)$ y $I_3 = - 1 \ (A)$ ; el signo negativo indica que el sentido correcto es el contrario al supuesto.

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Problemas resueltos

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