Longitud de arco en forma paramétrica. Cálculo vectorial.

Introducción

Si una curva suave C está dada por $x=f(t)$ y $y=g(t)$ y $C$ no se corta a sí misma en el intervalo $a \le t \le b$ (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de $C$ en ese intervalo está dada por:

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{{\left[f^{'}(t)\right]}^{2} + {\left[g^{'}(t)\right]}^{2}}dt}$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

$x = 6t^2$ y $y = 2t^3$ para $1 \le t \le 4$

Solución. Para poder utilizar la fórmula de la longitud de arco, primero se va derivando la ecuación paramétrica $x$ con respecto a $t$ , se tiene lo siguiente

$x = 6t^2$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (6t^2)$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = 12t$

Se aplica el paso anterior para la ecuación paramétrica $y$

$y = 2t^3$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (2t^3)$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 6t^2$

Después, del intervalo $1 \le t \le 4$ , los límites inferior y superior de la integral proveniente de la fórmula de la longitud de arco son

$a=1$ y $b=4$

Con estos cuatro datos, se realiza la sustitución

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \ dt}$

$\displaystyle S = \int_{0}^{1}{\sqrt{\left(12t \right)^2 + \left(6t^2 \right)^2} \ dt}$

$\displaystyle S = \int_{1}^{4}{\sqrt{144t^2 + 36t^4} \ dt} = \int_{1}^{4}{\sqrt{36t^2(4 + t^2)} \ dt}$

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{4 + t^2} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt}$

Esta integral se resuelve por medio de la sustitución. Así que

Aplicando la sustitución, se tiene que

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{t\sqrt{t^2 + 4} \ dt} = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{t^2 + 4} \ t \ dt}$

$\displaystyle S = 6 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ \frac{du}{2}}$

$\displaystyle S = \frac{6}{2} \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du} = 3 \int_{1}^{4}{\sqrt{u + 4} \ du}$

$\displaystyle S = 3 \cdot \left. \frac{2}{3} {(u+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4} = \left. 2 {(t^2+4)}^{3/2} \right]_{1}^{4}$

$\displaystyle S = 2 \left[ {(4)^2+4}^{3/2} - {(1)^2+4}^{3/2} \right]$

$\displaystyle S = 2 \left[ {(16+4)}^{3/2} - {(1+4)}^{3/2} \right]$

$\displaystyle \therefore S = 2 \left[(20)^{3/2} - {(5)}^{3/2} \right] \approx 156.525 \ \text{u}$

Problema 2. Hallar la longitud de arco mediante las ecuaciones paramétricas:

$x = 5 \cos{t} - \cos{5t}$ y $\displaystyle y = 5 \sin{t} - \sin{5t}$ para $(0,2\pi)$

Solución. Para poder utilizar la fórmula de la longitud de arco, primero se va derivando la ecuación paramétrica $x$ con respecto a $t$ , se tiene lo siguiente

$x = 5 \cos{t} - \cos{5t}$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (5 \cos{t} - \cos{5t}) = 5 \frac{d}{dt} (\cos{t}) - \frac{d}{dt}(\cos{5t})$

$\displaystyle \frac{dx}{dt} = -5 \sin{t} + 5 \sin{5t}$

Se aplica el paso anterior para la ecuación paramétrica $y$

$y = 5 \sin{t} - \sin{5t}$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 5 \frac{d}{dt} (\sin{t}) - \frac{d}{dt} (\sin{5t})$

$\displaystyle \frac{dy}{dt} = 5 \cos{t} - 5 \cos{5t}$

Después, del intervalo $(0,2\pi)$ , los límites inferior y superior de la integral proveniente de la fórmula de la longitud de arco son

$a=0$ y $b=2\pi$

Con estos cuatro datos, se realiza la sustitución

$\displaystyle S = \int_{a}^{b}{\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$

$\displaystyle S = \int_{0}^{2\pi}{\sqrt{\left(-5 \sin{t} + 5 \sin{5t} \right)^2 + \left(5 \cos{t} - 5 \cos{5t}\right)^2}dt}$

$\displaystyle S = \int_{0}^{2\pi}{\sqrt{25 {\sin}^{2}{t} - 50\sin{t} \sin{5t} + 25 {\sin}^{2}{5t} + 25 {\cos}^{2}{t} - 50 \cos{t} \cos{5t} + 25 {\cos}^{2}{5t}}dt}$

$\displaystyle S = \int_{0}^{2\pi}{\sqrt{25+25 -50 \sin{t} \sin{5t} + 25 - 50 \cos{t} \cos{5t}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - 2 \sin{t} \sin{5t} - 2 \cos{t} \cos{5t}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - \cos{(t-5t)} + \cos{(t+5t)} - \cos{(t-5t)} - \cos{(t+5t)}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - \cos{(-4t)} + \cos{(6t)} - \cos{(-4t)} - \cos{(6t)}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - \cos{(-4t)} - \cos{(-4t)}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - 2\cos{(-4t)}}dt} = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2 - 2\cos{4t}}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2(1 - \cos{4t})}dt} = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{2(2 {\sin}^{2}{2t})}dt}$

$\displaystyle S = 5\int_{0}^{2\pi}{\sqrt{4 {\sin}^{2}{2t}}dt} = 10\int_{0}^{2\pi}{\sin{2t} \, dt}$

$\displaystyle S = 40\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sin{2t} \, dt} = \frac{40}{2} \left[-\cos{2t}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

$S = 20(-\cos{\pi} + \cos{0}) = 20(1+1)$

$\therefore S = 40 \ \text{u}$

Finalmente, la longitud de arco de las ecuaciones paramétricas $x = 5 \cos{t} - \cos{5t}$ y $\displaystyle y = 5 \sin{t} - \sin{5t}$ para $(0,2\pi)$ es de 40 unidades.

Diapositiva7 — *Figura 1. Representación gráfica de la longitud de arco con las ecuaciones paramétricas dadas.*

3 comentarios sobre “Longitud de arco en forma paramétrica. Cálculo vectorial.”

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