Ecuación del plano tangente. Cálculo vectorial.

Plano tangente y recta normal.

Sea «F» diferenciable en un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ de la superficie S dada por $F(x,y,z)=0$ tal que $\nabla F(x_0, y_0, z_0) \ne 0$ .

Al plano que pasa por P y es normal a $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ se le llama plano tangente a S a P.
A la recta que pasa por P y tiene la dirección de $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ se le llama recta normal a S a P.

Ecuación del plano tangente.

Si F es diferenciable en $(x_0, y_0, z_0)$ entonces una ecuación del plano tangente a la superficie dada por $F(x,y,z)=0$ en $(x_0, y_0, z_0)$ es

$F_x (x_0,y_0, z_0)(x - x_0) + F_y (x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z (x_0, y_0,z_0)(z - z_0) = 0$

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar una ecuación de un plano tangente para

a) $z^2 - 2x^2 - 2y^2 = 12$ y $P(1,-1,4)$

Solución.

De la función, se debe igualar a cero, así que

$z^2 - 2x^2 - 2y^2 = 12$

$z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 12 = 0$

$F(x,y,z) = z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 12$

Imagen3 — *Figura 4.22.1 Primera representación gráfica de la hiperboloide z^2-2x^2-2y^2=12.*

Imagen4 — *Figura 4.22.2 Segunda representación gráfica de la hiperboloide z^2-2x^2-2y^2=12.*

Derivando esta función parcialmente con respecto a “x”

$\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 12) = \frac{\partial}{\partial x} (z^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2x^2) - \frac{\partial}{\partial x} (2y^2) - \frac{\partial}{\partial x} (12)$

$F_x (x,y,z) = -4x$

con respecto a “y”

$\displaystyle F_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 12) = \frac{\partial}{\partial y} (z^2) - \frac{\partial}{\partial y} (2x^2) - \frac{\partial}{\partial y} (2y^2) - \frac{\partial}{\partial y} (12)$

$F_y (x,y,z) = -4y$

con respecto a “z”

$\displaystyle F_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (z^2 - 2x^2 - 2y^2 - 12) = \frac{\partial}{\partial z} (z^2) - \frac{\partial}{\partial z} (2x^2) - \frac{\partial}{\partial z} (2y^2) - \frac{\partial}{\partial z} (12)$

$F_z (x,y,z) = 2z$

Sabiendo que $P(1,-1,4)$

$F_x (1,-1,4) = -4(1) = -4$

$F_y (1,-1,4) = -4(-1) = 4$

$F_z (1,-1,4) = 2(4) = 8$

Así que

$F_x (x_0,y_0,z_0)(x - x_0) + F_y (x_0,y_0,z_0)(y - y_0) + F_z (x_0,y_0,z_0)(z - z_0) = 0$

$F(1,-1,4)(x-1) + F_y (1,-1,4)(y+1) + F_z (1,-1,4)(z-4) = 0$

$-4(x-1) + 4(y+1) + 8(z-4) = 0$

$-4x + 4 + 4y + 4 + 8z - 32 = 0$

$-4x + 4y + 8z - 24 = 0$

$x - y - 2z + 6 = 0$

b) $\displaystyle z = 1 - \frac{1}{10} (x^2 + 4y^2)$ en $\displaystyle P(1,1, \frac{1}{2})$

Solución.

De la función, se debe igualar a cero

$\displaystyle z = 1 - \frac{1}{10} (x^2 + 4y^2)$

$\displaystyle z = 1 - \frac{1}{10}x^2 - \frac{4}{10} y^2$

$\displaystyle \frac{1}{10} x^2 + \frac{4}{10} y^2 + z - 1 = 0$

$\displaystyle F(x,y,z) = \frac{1}{10} x^2 + \frac{4}{10} y^2 + z - 1$

Imagen5 — *Figura 4.22.3 Representación gráfica de la paraboloide z=1-1/10 (x^2+4y^2 ).*

Derivando esta función parcialmente con respecto a “x”

$\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x^2}{10} + \frac{4}{10} y^2 + z - 1) = \frac{1}{10} \frac{\partial}{\partial x} (x^2) - \frac{4}{10} \frac{\partial}{\partial x} (y^2) + \frac{\partial}{\partial x} (z) - \frac{\partial}{\partial x} (1)$

$\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{1}{5} x$

Con respecto a “y”

$\displaystyle F_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x^2}{10} + \frac{4}{10} y^2 + z - 1) = \frac{1}{10} \frac{\partial}{\partial y} (x^2) - \frac{\partial}{4}{10} \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + \frac{\partial}{\partial y} (z) - \frac{\partial}{\partial y} (1)$

$\displaystyle F_y (x,y,z) = -\frac{8}{10} y$

Y con respecto a “z”

$\displaystyle F_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{x^2}{10} + \frac{4}{10} y^2 + z - 1) = \frac{1}{10} \frac{\partial}{\partial z} (x^2) - \frac{4}{10} \frac{\partial}{\partial z} (y^2) + \frac{\partial}{\partial z} (z) - \frac{\partial}{\partial z} (1)$

$F_z (x,y,z) = 1$

Sabiendo que $\displaystyle P(1,1, \frac{1}{2})$

$\displaystyle F_x (1,1, \frac{1}{2}) = \frac{1}{5} (1) = \frac{1}{5}$

$\displaystyle F_y (1,1, \frac{1}{2}) = -\frac{8}{10} (1) = - \frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$

$\displaystyle F_z (1,1, \frac{1}{2}) = 1$

Así que

$F_x (x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y (x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z (x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$

$\displaystyle F(1,1, \frac{1}{2})(x-1) + F_y (1,1, \frac{1}{2})(y-1) + F_z (1,1, \frac{1}{2})(z-\frac{1}{2}) = 0$

$\displaystyle \frac{1}{5} (x-1) - \frac{4}{5} (y+1) + 1(z-\frac{1}{2}) = 0$

$\displaystyle \frac{1}{5} x- \frac{1}{5} - \frac{4}{5} y - \frac{4}{5} + z - \frac{1}{2} = 0$

$\displaystyle \frac{1}{5} x - \frac{4}{5} y + z - 1 - \frac{1}{2} = 0$

$\displaystyle \frac{1}{5} x - \frac{4}{5}y + z - \frac{3}{2} = 0$

$\displaystyle x - 4y + 5z - \frac{15}{2} = 0$

$2x - 8y + 10z - 15 = 0$

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.