Ecuación de una recta tangente. Cálculo vectorial.

Plano tangente y recta normal.

Sea «F» diferenciable en un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ de la superficie S dada por $F(x,y,z)=0$ tal que $\nabla F(x_0, y_0, z_0) \ne 0$ .

Al plano que pasa por P y es normal a $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ se le llama plano tangente a S a P.
A la recta que pasa por P y tiene la dirección de $\nabla F(x_0, y_0, z_0)$ se le llama recta normal a S a P.

Problemas resueltos.

Problema 1. Hallar la ecuación de una recta tangente a una curva

Para una elipsoide: $x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 20$
Para una paraboloide: $x^2 + y^2 + z = 4$

En el punto (0, 1, 3).

Solución. Se debe hallar la gradiente para la elipsoide, así que, se debe tener sus derivadas parciales y evaluadas en el punto (0, 1, 3):

$x^2+2y^2+2z^2=20$

$x^2+2y^2+2z^2-20=0$

$F(x, y, z)=x^2+2y^2+2z^2-20$

La derivada parcial con respecto a “x” es

$\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2+2y^2+2z^2-20)$

$\displaystyle F_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + 2 \frac{\partial}{\partial x} (y^2 ) + 2 \frac{\partial}{\partial x} (z^2) - \frac{\partial}{\partial x} (20)$

$\displaystyle F_x (x,y,z)=2x$

Con respecto a “y” es

$\displaystyle F_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2+2y^2+2z^2-20)$

$\displaystyle F_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2) + 2 \frac{\partial}{\partial y} (y^2) + 2 \frac{\partial}{\partial y} (z^2) - \frac{\partial}{\partial y} (20)$

$F_y (x,y,z) = 4y$

Y con respecto a “z” es

$\displaystyle F_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2+2y^2+2z^2-20)$

$\displaystyle F_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2) + 2 \frac{\partial}{\partial z} (y^2) + 2 \frac{\partial}{\partial z} (z^2) - \frac{\partial}{\partial z} (20)$

$F_z (x,y,z) = 4z$

Imagen7 — *Figura 4.23.1 Representación gráfica de la elipsoide x^2+2y^2+2z^2=20.*

Utilizando el punto (0, 1, 3) en los resultados de las primeras derivadas parciales

$\displaystyle F_x (0, 1, 3) = 2(0) = 0$

$F_y (0, 1, 3) = 4(1) = 4$

$F_z (0, 1, 3) = 4(3) = 12$

Ahora, en la fórmula del gradiente

$\nabla F(x,y,z) = F_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + F_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + F_z (x,y,z) \overrightarrow{k}$

$\nabla F(0,1,3) = F_x (0,1,3) \overrightarrow{i} + F_y (0,1,3) \overrightarrow{j} + F_z (0,1,3) \overrightarrow{k}$

$\nabla F(0,1,3) = 0 \overrightarrow{i} + 4\overrightarrow{j} + 12\overrightarrow{k}$

Después de aplica el mismo procedimiento para la paraboloide

$x^2+y^2+z=4$

$x^2+y^2+z-4=0$

$G(x, y, z)=x^2+y^2-z-4$

Después, derivando esta función con respecto a “x”

$\displaystyle G_x (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2+y^2-z-4) = \frac{\partial}{\partial x} (x^2) + \frac{\partial}{\partial x} (y^2) - \frac{\partial}{\partial x} (z) - \frac{\partial}{\partial x} (4)$

$G_x (x,y,z) = 2x$

Con respecto a “y”

$\displaystyle G_y (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2+y^2-z-4) = \frac{\partial}{\partial y} (x^2) + \frac{\partial}{\partial y} (y^2) - \frac{\partial}{\partial y} (z) - \frac{\partial}{\partial y} (4)$

$G_y (x,y,z)=2y$

Y con respecto a “z”

$\displaystyle G_z (x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2+y^2-z-4) = \frac{\partial}{\partial z} (x^2) + \frac{\partial}{\partial z} (y^2) - \frac{\partial}{\partial z} (z) - \frac{\partial}{\partial z} (4)$

$G_z (x,y,z) = 1$

Imagen8 — *Figura 4.23.2 Representación gráfica de la paraboloide x^2+y^2+z=4.*

Y tomando nuevamente el punto (0, 1, 3) para sustituirlo las primeras derivadas parciales

$G_x (0, 1, 3) = 2(0) = 0$

$G_y (0, 1, 3) = 2(1) = 2$

$G_z (0, 1, 3) = 1$

Así que la gradiente es

$\nabla G(x,y,z) = G_x (x,y,z) \overrightarrow{i} + G_y (x,y,z) \overrightarrow{j} + G_z (x,y,z) \overrightarrow{k}$

$\nabla G(0,1,3) = G_x (0,1,3) \overrightarrow{i} + G_y (0,1,3) \overrightarrow{j} + G_z (0,1,3) \overrightarrow{k}$

$\nabla F(0,1,3) = 0 \overrightarrow{i} + 2 \overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$

Para obtener la recta tangente, se aplica el producto cruz de las gradientes $\nabla F(0,1,3)$ y $\nabla G(0,1,3)$

$\nabla F(0,1,3) \times \nabla G(0,1,3) = \left[ \begin{matrix} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\0 & 4 & 12 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} \right]$

$= [(1)(4) \overrightarrow{i} + (0)(12) \overrightarrow{j} + (2)(0) \overrightarrow{k}] - [(0)(4) \overrightarrow{k} + (2)(12) \overrightarrow{i} + (1)(0) \overrightarrow{j}]$

$= 4\overrightarrow{i} - 24\overrightarrow{i}$

$\nabla F(0,1,3) \times \nabla G(0,1,3) = -20 \overrightarrow{i}$

Este resultado, es decir $-20 \overrightarrow{i}$ , representa el vector tangente de ambas superficies. Ahora, la recta tangente a la curva de intersección de las dos superficies en el punto (0,1,3) es una recta paralela al eje “x” y que pasa por el punto (0,1,3).

Referencias bibliográficas.

Colley, S. J. (2013). Cálculo vectorial. México: PEARSON EDUCACIÓN.
Larson, R., & Edwards, B. (2017). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. México: CENGAGE Learning.
R. Spiegel, M. (1967). Análisis vectorial. México: McGRAW – HILL.