Análisis de estabilidad de un sistema en lazo cerrado. Control digital.

Introducción

Considerar el siguiente sistema con función de transferencia pulso en lazo cerrado

\displaystyle \frac{C(z)}{R(z)} = \frac{G(z)}{1+GH(z)}

La estabilidad del sistema que define la ecuación (1), así como la de otros tipos de sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las localizaciones de los polos en lazo cerrado en el plano z, o por las raíces de la ecuación característica:

$P(z) = 1+GH(z)=0$

Como sigue

Para que el sistema sea estable, los polos en lazo cerrado o las raíces de la ecuación característica deben presentarse en el plano z dentro del círculo unitario.
Si un polo simple se presenta en z=1, entonces el sistema se vuelve críticamente estable. También ocurre si solo un par de polos complejos conjugados se presentan sobre el círculo unitario. Cualquier polo múltiple, el sistema es inestable en el círculo unitario.
Los ceros en lazo cerrado no afectan la estabilidad absoluta y por lo tanto pueden quedar localizados cualquier parte del plano z.

Problema resuelto

Problema 1. Considere el sistema de control en lazo cerrado. Determine la estabilidad hallando para que valor de K lo es. La función de transferencia G(s) es:

$\displaystyle G(s) = \left(\frac{1-e^{-s}}{s} \right) \cdot \frac{K}{s(s+1)}$

sistema en lazo cerrado.png — *Figura 1. Representación de un sistema de control en lazo cerrado.*

Solución. Se reacomodan los terminos de los cocientes brindados por el problema.

$\displaystyle G(s) = \left( \frac{1-e^{-s}}{s} \right) \cdot \frac{K}{s(s+1)} = K(1-e^{-s}) \cdot \frac{1}{s^2 (s+1)}$

Determinando su transformada $z$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G(s)] = K \cdot Z \left[ (1-e^{-s}) \cdot \frac{1}{s^2 (s+1)} \right] = K (1-z^{-1}) \cdot Z \left[ \frac{1}{s^2 (s+1)} \right]$

Para poder determinar esto último, se resuelve primero hallando su transformada inversa de Laplace, partiendo del desarrollo fracciones parciales

$\displaystyle \frac{1}{s^2 (s+1)} = \frac{A}{s^2} + \frac{B}{s} + \frac{C}{(s+1)}$

$\displaystyle \frac{1}{s^2 (s+1)} = \frac{A(s+1)+Bs(s+1)+Cs^2}{s^2 (s+1)}$

$1=A(s+1)+Bs(s+1)+Cs^2$

$1=(B+C) s^2+(A+B)s+A$

Donde los valores son $A=1$ , $B=-1$ , $C=1$

Y el equivalente (desarrollo por fracciones parciales) es

$\displaystyle \frac{1}{s^2 (s+1)} = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{(s+1)}$

Entonces, su transformada inversa de Laplace es

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 (s+1)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{(s+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2 (s+1)} \right] = t - 1 + e^{-t}$

Remplazando t por kT

$t - 1 + e^{-t} = (kT) - 1(kT) + e^{-kT}$

Regresando y aplicando la transformada $z$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G(s)] = K (1-z^{-1}) \cdot Z \left[ \frac{1}{s^2 (s+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{Z} \left[ G(s) \right] = K (1-z^{-1}) \cdot Z [(kT) - 1(kT) + e^{-kT}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} \left[ G(s) \right] = K (1-z^{-1}) \cdot \frac{(T-1+e^{-T}) z^{-1} + (1-e^{-T} - Te^{-T}) z^{-2}}{{(1-z^{-1})}^2 (1-e^{-T} z^{-1})}$

De la ecuación del problema, se observa que $T=1$ , por lo que, sustituyendo este valor en el resultado de la transformada z, obtiene lo siguiente:

$\displaystyle \mathcal{Z} \left[ G(s) \right] = K (1-z^{-1}) \cdot \frac{(1 - 1 + e^{-1}) z^{-1} + (1 - e^{-1} - e^{-1}) z^{-2}}{{(1 - z^{-1})}^2 (1 - e^{-1} z^{-1})}$