Diagrama de Nyquist y diagrama de Bode en tiempo discreto. Control digital.

Sistema en tiempo discreto

Considere el sistema en tiempo discreto ilustrado en la figura 1. La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

$\displaystyle \frac{C(z)}{R(z)} = \frac{G_{h0} G(z)}{1+G_{h0} G(z)}$

Donde

$G_{h0} G(z) = Z[G_{h0} (s)G(s)]$

*Figura 1. Diagrama de bloques en tiempo discreto.*

Tal como en el caso de sistemas en tiempo continuo, las condiciones de estabilidades absoluta relativa y absoluta del sistema en tiempo continuo en lazo cerrado se pueden investigar al hacer las trazas en el dominio de la frecuencia de $G_{h0} G(z)$ . Ya que el eje positivo $j\omega$ del plano s corresponde a la frecuencia real, las trazas en el dominio de la frecuencia de $G_{h0} G(z)$ se obtienen al hacer $z=e^{j\omega T}$ y dejando que $\omega$ varía desde 0 hasta $\infty$ . Esto también es equivalente a mapear los puntos sobre el círculo unitario, |z|=1, en el plano z dentro del plano $G_{h0} G(e^{j\omega T})$ . Ya que el círculo unitario se repite por cada frecuencia de muestreo $\displaystyle \omega_s = \frac{2\pi}{T}$ , cuando $\omega$ varía a lo largo del eje \latex j\omega,$ la traza en el dominio de la frecuencia de $G(e^{j\omega T})$ se repite para $\omega = n\omega_s,$ hasta $(n+1) \omega_s$ , $n = 0, 1, 2, \cdots$ . Por tanto es necesario dibujar $G_{h0} G(e^{j\omega T})$ sólo para el rango de $\omega =0$ hasta $\omega=\omega_s$ . De hecho, ya que el círculo unitario en el plano s es simétrico con respecto al eje real, la traza de $G_{h0} G(e^{j\omega T})$ en coordenadas polares $\omega = 0$ hasta $\displaystyle \omega = \frac{\omega_s}{2}$ necesita ser diagramado.

diagrama bode tiempo discreto — *Figura 2. Relación entre el eje j $\omega$ en el plano s y el círculo unitario en el plano z.*

*Figura 2. Relación entre el eje j $\omega$ en el plano s y el círculo unitario en el plano z.*

La traza de bode con la transformada w

La transformada w se obtiene mediante el “método de transformación bilineal”. Existen muchas transformaciones bilineales de la forma:

$\displaystyle z = \frac{ar+b}{cr+d}$

En donde $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son constantes reales, y $r$ es una variable compleja, esto transformará los círculos en el plano $z$ en líneas rectas en el plano $r$ . Una de las transformadas que conviene el interior del círculo unitario del plano $z$ en el semiplano izquierdo del plano $r$ es:

$\displaystyle z = \frac{1+r}{1-r}$

Que se conoce como transformada $r$ . Esta transformada es probablemente la forma más simple que puede emplearse en forma manual.

Otra transformada que a menudo se utiliza en el diseño de sistemas de control en tiempo discreto en el dominio de la frecuencia es:

$\displaystyle z = \frac{\frac{2}{T} + w}{\frac{2}{T} - w}$

$\displaystyle w = (\frac{2}{T}) (\frac{z-1}{z+1})$

La ventaja de la transformada $w$ sobre la transformada $r$ es que el eje imaginario del plano $w$ se aparece al del plano $late s$. Para demostrar esto se hace lo siguiente:

$z = e^{j\omega T} = \cos{\omega T} + j\sin{\omega T}$

$\displaystyle w = (\frac{2}{T}) (\frac{z-1}{z+1}) = (\frac{2}{T})(\frac{\cos{\omega T} + j \sin{\omega T} - 1}{\cos{\omega T} + j\sin{\omega T} + 1})$

$\displaystyle w = (\frac{2}{T}) \left[ \frac{j\sin{\omega t}(\cos{\omega T} + 1) - j\sin{\omega T}(\cos{\omega T} - 1)}{2 (\cos{\omega T} + 1)} \right]$

$\displaystyle w = j(\frac{2}{T}) \tan{\frac{\omega T}{2}} = j(\frac{2}{T}) \omega_{w}$

Por lo que el círculo unitario en el plano $z$ se mapea en el eje imaginario $w=j\omega_s$ en el plano $w$ . La relación entre $\omega_w$ y $\omega$ , la frecuencia real, es:

$\displaystyle \omega_w = \frac{2}{T} \tan{\frac{\omega T}{2}} = \frac{\omega_s}{\pi} \tan{\frac{\pi \omega}{\omega_s}}$

En donde $\omega_s$ es la frecuencia de muestreo en rad/seg. La correlación entre $\omega$ y $\omega_w$ es que ambas van a 0 y $\infty$ al mismo tiempo.

Para el análisis en el dominio de la frecuencia de un sistema en tiempo discreto, se sustituyen esas ecuaciones en G(z) para obtener $G(j\omega_w)$ ; el último se puede emplear para formar las trazas de Bode o la traza polar del sistema.

Problema resuelto

Problema 1. Sea la función de transferencia del proceso del sistema de la figura 1 como sigue:

$\displaystyle G(s) = \frac{1.57}{s(s+1)}$

Y la frecuencia de muestreo es 4 rad/seg.

Solución. Con retenedor de orden cero

$\displaystyle G_{h0} G(s) = \frac{1-e^{-Ts}}{s} \frac{1.57}{s(s+1)} = 1.57(1-e^{-Ts}) \frac{1}{s^2 (s+1)}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = (1.57) Z[(1-e^{-Ts}) \frac{1}{s^2 (s+1)}] = (1.57)(1-z^{-1}) Z \left[\frac{1}{s^2 (s+1)} \right]$

Por fracciones parciales

$\displaystyle {1}{s^2 (s+1)} = \frac{A}{s^2} + \frac{B}{s} + \frac{C}{(s+1)} = \frac{A(s+1)+Bs(s+1)+Cs^2}{s^2 (s+1)}$

$1= A(s+1)+Bs(s+1)+Cs^2$

Donde $A=1, B=-1, C=1$

Aplicando transformada inversa de Laplace, sustituyendo $t=kT$ y transformada z:

$\displaystyle \frac{1}{s^2 (s+1)} = \frac{1}{s^2} - \frac{1}{s} + \frac{1}{(s+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [\frac{1}{s^2 (s+1)}] = \mathcal{L}^{-1} [\frac{1}{s^2} -\frac{1}{s} + \frac{1}{(s+1)}] = t-1+e^{-t} = (kT-1+e^{-kT})$

$\displaystyle \mathcal{Z} [kT-1+e^{-kT} ] = \frac{Tz^{-1}}{{(1-z^{-1})}^2} - \frac{1}{(1-z^{-1})} + \frac{1}{(1-e^{-T} z^{-1})}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [kT-1+e^{-kT} ] = \frac{Tz}{(z-1)^2} - \frac{z}{(z-1)} + \frac{z}{(z-e^{-T})} = \frac{(T + e^{-T} - 1)z + (1-e^{-T} - Te^{-T}) z^2}{{(z-1)}^2 (z - e^{-T})}$

Regresando

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = (1.57) \mathcal{Z} [(1-e^{-Ts}) \frac{1}{s^2 (s+1)}] = (1.57)(1 - z^{-1}) \mathcal{Z} [\frac{1}{s^2 (s+1)}]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = (1.57) \cdot (1-z^{-1}) \cdot \frac{(T + e^{-T} - 1)z + (1-e^{-T} - Te^{-T}) z^2}{{(z-1)}^2 (z - e^{-T})}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = 1.57[\frac{(T+e^{-T}-1)z+ (1-e^{-T}-Te^{-T} ) z^2}{(z-1)(z-e^{-T})} ]$

Si la frecuencia de muestreo es de $\omega = 4$ rad/seg:

$\displaystyle \omega_s = \frac{2\pi}{T}$

$\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega_s} = \frac{2\pi}{4} \approx 1.571$ seg

Sustituyendo en el resultado de la transformada $z$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = 1.57[\frac{(T+e^{-T} - 1)z+(1-e^{-T}-Te^{-T}) z^2}{(z-1)(z-e^{-T})} ]$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G_{h0} G(s)] = 1.57[\frac{(1.571+e^(-1.571)-1)z+(1-e^(-1.571)-1.571e^(-1.571) ) z^2}{(z-1)(z-e^(-1.571))} ]$

$\displaystyle G_{h0} G(z)= \frac{1.223z+0.732}{(z-1)(z-0.208)}$

Ahora , sin retenedor de orden cero

$\displaystyle G(s) = \frac{1.57}{s(s+1)}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [G(s)] = Z[\frac{1.57}{s(s+1)}] = (1.57)Z[\frac{1}{s(s+1)}]$

Aplicando fracciones parciales

$\displaystyle \frac{1}{s(s+1)} = \frac{A}{s} + \frac{B}{(s+1)} = \frac{A(s+1)+Bs}{s(s+1)}$

$1=(A+B)s+A$

Donde $A=1 , B=-1$ .

Aplicando transformada inversa de Laplace, sustituyendo $t=kT$ y transformada $z$

$\displaystyle \frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s} - \frac{1}{(s+1)}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [\frac{1}{s(s+1)}] = \mathcal{L}^{-1} [\frac{1}{s} - \frac{1}{(s+1)}] = 1 - e^{-t} = 1-e^{-kT}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [1 - e^{-kT}] = \frac{1}{(1-z^{-1})} - \frac{1}{(1-e^{-T} z^{-1})} = \frac{z}{(z-1)} - \frac{z}{(z-e^{-T})}$

$\displaystyle \mathcal{Z} [1 - e^{-kT}] = (1-e^{-T}) \frac{z}{(z-1)(z-e^{-T})}$

Regresando y sustituyendo con el valor de $T=1.571$ :

$\displaystyle G(z) =1.57 \left[\frac{(1-e^{-T} )z}{(z-1)(z-e^{-T})} \right]$

$\displaystyle G(z) = 1.57 \left[\frac{(1-e^{-1.571} )z}{(z-1)(z-e^{-1.571})} \right]$

$\displaystyle G(z) = \frac{1.243z}{(z-1)(z-0.208)}$

Entonces, si el sistema no tiene un retenedor de orden cero, el sistema a tomar es la ecuación anterior. Ahora, La respuesta en frecuencia de $G_{h0} G(z)$ se obtiene al reemplazar z por $e^{j\omega T}$ de la ecuación G(s). La traza polar de $G_{h0} G(e^{j\omega T})$ para $\omega = 0$ hasta $\omega_s / 2$ se muestran en las figuras 3 y 4.

Figura 3. Trazas de Bode de G_{h0} G(z) del sistema, con G(s) = 1.57 / [s(s+1)], T=1.57 (seg), con retenedor de orden cero y sin retenedor de orden cero.

traza en el dominio de la frecuencia 1 — *Figura 5. Traza en el dominio de la frecuencia de $G_{h0} G(z)$ del sistema, con $G(s) = 1.57 / [s(s+1)]$ , T=1.57 s, y que incluye el retenedor de orden cero (ROC) y sin el retenedor.*

Tomando el resultado final que incluye el retenedor de orden cero

$\displaystyle G_{h0} G(z) = \frac{1.223z+0.732}{(z-1)(z-0.208)}$

se muestran en las figuras 3, 4 y 5 la traza polar y las trazas de Bode. En la traza polar del sistema con el retenedor de orden cero se intersecta con el eje real negativo en un punto más cercano al punto $(-1, j0)$ que aquel sistema sin el retenedor de orden cero. Por lo que el sistema con el retenedor de orden cero es menos estable. En forma similar, la fase de la traza de Bode del sistema con retenedor de orden cero es más negativo que aquel sistema sin el retenedor de orden cero. El margen de ganancia, el margen de fase y el pico de resonancia de los dos sistemas se muestra los siguiente:

Como alternativa, las trazas de Bode y la traza polar de la función de transferencia de la trayectoria directa se pueden efectuar utilizando la transformada $w$ . Entonces, para el sistema que incluye el retenedor de orden cero, su función de transferencia de la trayectoria directa en el dominio w se determina a continuación.

$\displaystyle G_{h0} G(z) = \frac{1.223z+0.732}{(z-1)(z-0.208)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.223(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w})+0.732}{(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}-1)(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}-0.208)}$

Si T=1.571 (seg), resulta

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.223(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w})+0.732}{(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w}-1)(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w}-0.208)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.223(\frac{1.273+w}{1.273-w})+0.732}{(\frac{1.273+w}{1.273-w}-1)(\frac{1.273+w}{1.273-w}-0.208)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{(\frac{1.557+1.223w}{1.273-w})+0.732}{(\frac{1.273+w}{1.273-w}-1)(\frac{1.273+w}{1.273-w}-0.208)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{\frac{1.557+1.223w+(0.732)(1.273-w)}{1.273-w}}{(\frac{1.273+w-1.273+w}{1.273-w})(\frac{1.273+w-0.208(1.273-w)}{1.273-w})}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.557+1.223w+(0.732)(1.273-w)}{(1.273+w-1.273+w)(\frac{1.273+w-0.208(1.273-w)}{1.273-w})}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{[1.557+1.223w+(0.732)(1.273-w)](1.273-w)}{(1.273+w-1.273+w)[1.273+w-0.208(1.273-w)]}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{(1.557+1.223w+0.932-0.732w)(1.273-w)}{(1.273+w-1.273+w)(1.273+w-0.265+0.208w)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{(2.489+0.491w)(1.273-w)}{2w(1.008+1.208w)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{(2.489)(1.273)(1+0.197w)(1-0.785w)}{2(1.008)w(1+1.198w)}$

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.572(1+0.197w)(1-0.785w)}{w(1+1.198w)}$

*Nota. El autor Benjamín C. Kuo, del libro Sistemas de control automático, brinda un resultado diferente al obtenido anteriormente, y es

$\displaystyle G_{h0} G(w) = \frac{1.57(1+0.504w)(1-1.0913w)}{w(1+1.197w)}$

Y para el resultado del sistema sin retenedor de orden cero, aplicando la transformada w tiene la siguiente expresión

$\displaystyle G(z) = \frac{1.243z}{(z-1)(z-0.208)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w})}{(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}-1)(\frac{\frac{2}{T}+w}{\frac{2}{T}-w}-0.208)}$

Si T=1.571 seg, resulta

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w})}{(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w}-1)(\frac{\frac{2}{1.571}+w}{\frac{2}{1.571}-w}-0.208)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(\frac{1.273+w}{1.273-w})}{(\frac{1.273+w}{1.273-w}-1)(\frac{1.273+w}{1.273-w}-0.208)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(\frac{1.273+w}{1.273-w})}{(\frac{1.273+w-1.273+w}{1.273-w})(\frac{1.273+w-0.208(1.273-w)}{1.273-w})}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(1.273+w)(1.273-w)}{(1.273+w-1.273+w)[1.273+w-0.208(1.273-w)]}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.243(1.273+w)(1.273-w)}{2w(1.273+w-0.265+0.208w)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{0.622(1.273+w)(1.273-w)}{w(1.008+1.208w)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{0.622(1.621-w^2)}{w(1.008+1.208w)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1.008(1-0.617w^2)}{w(1.008+1.208w)}$

$\displaystyle G(w) = \frac{1-0.617w^2}{w(1+1.198w)}$

*Nota. El autor Benjamín C. Kuo, del libro Sistemas de control automático, brinda un resultado diferente al obtenido anteriormente, y es

$\displaystyle G(w) = \frac{1-0.6163w^2}{w(1+1.978w)}$

Sustituyendo esta última ecuación $w = j\omega_w$ , las trazas de Bode tienen la siguiente forma (figuras 6 y 7):

Figura 6. Trazas de Bode de G_{h0} G(z) del sistema, con G(s) = 1.57 / [s(s+1)], T=1.57 (seg), con retenedor de orden cero y sin retenedor de orden cero, en base a w = jω_n.

Se concluye en este problema que una vez reemplazado z por $e^{jwT}$ en la función de transferencia del dominio z, al emplear la transformada w, todas las técnicas de análisis en el dominio de la frecuencia disponibles para sistemas en tiempo discreto, se pueden aplicar a sistemas en tiempo discreto.

Diagrama de Nyquist y diagrama de Bode en tiempo discreto. Control digital.

Sistema en tiempo discreto

La traza de bode con la transformada w

Problema resuelto

Publicado por Cesar Reyes

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La traza de bode con la transformada w

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