Obtención de volúmenes de sólidos de revolución por integración. Cálculo integral.

Introducción

Sea $V$ el volumen del sólido de revolución que se genera haciendo girar una superficie plana $ABCD$ alrededor del eje $x$ , en donde la ecuación de la curva plana $CD$ es $y=f(x)$ (figura 4.6.1).

Primer paso. Se divide el segmento $AB$ en $n$ partes, cuyas longitudes sea $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , …, $\Delta x_n$ y se hace pasar por cada punto de división de un plano perpendicular al eje de las $x$ . Dichos planos dividirán el sólido en $n$ placas circulares. Si dentro de la superficie plana $ABCD$ se construyen rectángulos con las bases $\Delta x_1$ , $\Delta x_2$ , $\Delta x_3$ , …, $\Delta x_n$ , entonces en cada rectángulo general un cilindro de revolución cuando se hace girar la superficie plana $ABCD$ .

figura 4.6.1 — *Figura 4.6.1 Representación gráfica de un volumen del sólido de revolución que se generó l girar una superficie plana.*

De esta forma se obtiene un cilindro correspondiente a cada una de las placas circulares. En la figura 4.6.2 se observa que $n=4$ y se muestran los cilindros. El límite de la suma de estos $n$ cilindros ( $n \rightarrow \infty$ ) es el volumen buscado.

Segundo paso. Sean $y_1$ , $y_2$ , $y_3$ , …, $y_n$ las ordenadas de la curva $CD$ en los puntos de división en el eje de las $x$ . Entonces el volumen del cilindro generado por la superficie del rectángulo $AEFC$ es $\pi y_1^2 \Delta x_1$ , y la suma de los volúmenes de todos estos cilindros es

$\displaystyle \pi y_1^2 \Delta x_1 + \pi y_2^2 \Delta x_2 + \pi y_3^2 \Delta x_3 + \cdots + \pi y_n^2 \Delta x_n = \sum_{i=1}^{n}{\pi y_i^2 \Delta x_i}$

Tercer paso. Aplicando el teorema fundamental del cálculo integral (teniendo como límites $OA=a$ y $OB=b$ ), resulta

$\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{\pi y_i^2 \Delta x_i}} = \int_a^b{\pi y^2 \, dx} = \pi \int_a^b{y^2 \, dx}$

Por lo tanto, el volumen que se genera haciendo girar alrededor del eje de las $x$ la superficie limitada por la curva, el eje de las $x$ y las ordenadas $x=a$ y $x=b$ está dado por la fórmula:

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx}$

En ella se ha de sustituir, deducido de la ecuación de la curva dada, el valor de $y$ en términos de $x$ .

Esta ecuación $\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx}$ es fácilmente comprensible si se considera una rebanada o placa delgada del sólido formado por dos planos perpendiculares al eje de revolución y se observa que esta placa circula, aproximadamente, como un cilindro de altura $dx$ y base de área $\pi y^2$ . Evidentemente, el volumen de un cilindro tal es $\pi y^2 \, dx$ . Dicho cilindro es el elemento de volumen buscado.

En ella se ha de sustituir, deducido de la ecuación de la curva dada, el valor de $x$ en función de $y$ .

Si las ecuaciones de la curva $CD$ de la figura 4.6.2 se dan en forma paramétrica, $x=f(t)$ y $y=\phi (t)$ , entonces se debe sustituir en $V_x = \pi _a^b{y^2 \, dx}$ los valores de $y=\phi (t)$ , $dx = f' (t) \, dt$ y cambiar los límites en $t_1$ y $t_2$ . Si $t=t_1$ , cuando $x=a$ , $t=t_2$ cuando $x=0$ .

Problemas resueltos

P1. Calcular el volumen de la esfera que se genera haciendo girar el círculo $x^2+y^2=r^2$ alrededor de un diámetro.

Solución.

Despejando el término y^2 de la ecuación del círculo, resulta

$x^2+y^2=r^2$

$y^2=r^2-x^2$

Por lo que el volumen buscado es dos veces el volumen engendrado por $OAB$ . Como $OX$ es el eje de revolución, se tiene que

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx} = 2\pi \int_0^r{(r^2-x^2 ) \, dx}$

Resolviendo la integral

$\displaystyle \int{(r^2-x^2 ) \, dx} = r^2 \int{dx} - \int{x^2 \, dx} = r^2 x - \frac{1}{3} x^3 + C$

Regresando y reemplazando la variable $x$ con sus respectivos limites, resulta

$\displaystyle V_x = 2\pi \int_0^r{(r^2-x^2 ) \, dx} = 2\pi \left[r^2 x - \frac{1}{3} x^3 + C\right]_0^r$

$\displaystyle = 2\pi \left[r^2 (r) - \frac{1}{3} (r)^3+C\right] - 2\pi \left[r^2 (0) - \frac{1}{3} (0)^3 + C\right]$

$\displaystyle = 2\pi (r^3 - \frac{1}{3} r^3 ) = 2\pi (\frac{2}{3} r^3 ) = \frac{4\pi}{3} r^3$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V_x = \frac{4\pi}{3} r^3$

P2. Hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola $y^2=8x$ y la ordenada correspondiente a $x=2$ con respecto al eje $x$ .

Solución.

Despejando la variable y

$y^2=8x$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{8x}$

Realizando la tabulación desde $x=0$ hasta $x=2$ , se tiene que

tabla4.6.1

Graficando la función

Se divide el área mediante franjas verticales; cuando el rectángulo genérico gire alrededor del eje $x$ se produce un disco de radio $y$ , de altura $\Delta x$ y de volumen $\pi y^2 \, \Delta x$ . La suma de los volúmenes de los $n$ discos, correspondientes a los $n$ rectángulos, resulta ser el volumen pedido.

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{y^2 \, dx} = \pi \int_0^2{8x \, dx} = 8\pi \int_0^2{x \, dx}$

$\displaystyle = 8\pi \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_0^2 =8\pi \left[\frac{1}{2} (2)^2 \right] - 8\pi \left[\frac{1}{2} (0)^2 \right] = 16\pi$

Finalmente

$\displaystyle V_x = 16 \pi \, u^3$

P3. Hallar el volumen que se genera al girar el área limitada por la parábola $y^2=8x$ alrededor de la ordenada correspondiente a $x=2$ .

Solución.

Realizando la tabulación desde $x=-2$ hasta $x=2$ , se tiene lo siguiente

tabla4.6.2

Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico gire alrededor del eje $y$ , se produce un disco de radio $2-x$ , de altura $\Delta y$ y de volumen $\pi(2-x)^2 \, \Delta y$ .

El volumen buscado es dos veces el volumen engendrado por $y^2=8x$ , esto es

$\displaystyle V_y = \pi \int_c^d{x^2 \, dy} = 2\pi \int_0^4{(2-x)^2 \, dy}$

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_0^4{(2-\frac{y^2}{8})^2 \, dy} = 2\pi \int_0^4{(4 - \frac{1}{2} y^2 + \frac{1}{64} y^4 ) \, dy} = 2\pi \left[4y - \frac{1}{6} y^3 + \frac{1}{320} y^5 + C\right]_0^4$

$\displaystyle = 2\pi \left[4(4) - \frac{1}{6} (4)^3 + \frac{1}{320} (4)^5 \right] - 2\pi \left[ 4(0) - \frac{1}{6} (0)^3 + \frac{1}{320} (0)^5 \right]$

$\displaystyle = 2\pi \left(16 - \frac{64}{6} + \frac{1024}{320} \right) = \frac{256}{15} \pi$

Finalmente

$\displaystyle\ \therefore V_y = \frac{256}{15} \pi \, u^3$

Volumen de un sólido de revolución hueco

Cuando una superficie plana gira alrededor de un eje situado en el mismo plano, y este eje no corta la superficie, se forma un sólido de revolución hueco.

Considerando el siguiente ejemplo, el sólido se obtiene haciendo girar alrededor del eje de las $x$ es el recinto $ACBDA$ de la figura 4.6.7.

Haciendo pasar por el sólido un sistema de planos equidistantes perpendiculares al eje de revolución $OX$ , donde $\Delta x$ es la distancia entre uno y otro. Entonces el sólido se divide en placas circulares huecas de espesor $lates \Delta x$. Si uno de los planos que dividen el sólido pasa por $M$ , la placa circular hueca con una base en este plano es, aproximadamente, un cilindro circular hueca cuyos radios interior y exterior son, respectivamente, $MP_1 (=y_1 )$ y $MP_2 (y_2 )$ . Por tanto, su volumen es: $\pi (y_2^2-y_1^2 ) \, \Delta x$ . Sean $n$ cilindros huecos, $b-a = n \, \Delta x$ .

El límite de la suma de estos cilindros hueco, cuando $n \rightarrow \infty$ , es el volumen del sólido de revolución hueco. Entonces:

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$

Siendo $y_2>y_1$ .

El elemento de volumen en $\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$ es un cilindro hueco con radio interior $y_1$ , radio exterior $y_2$ y altura $\Delta x$ . Los radios $y_1$ y $y_2$ son funciones de $x (=OM)$ que se obtienen de las ecuaciones de las curvas que limitan (o la ecuación de la curva que limita) la superficie que gira.

Problemas resueltos

P1. Calcular el volumen del sólido anular (toro o argolla) que se forma al hacer girar un círculo de radio a alrededor de un eje situado en su plano y exterior al círculo, que dista de su centro $b$ unidades, con $b>a$ .

Solución.

Sea la ecuación del círculo $x^2 + (y-b)^2 = a^2$ y sea el eje $x$ el de revolución y despejando $y$ , resulta

$\displaystyle x^2+(y-b)^2=a^2$

$\displaystyle (y-b)^2=a^2-x^2$

$\displaystyle y-b=\pm \sqrt{a^2-x^2}$

$\displaystyle y = b \pm \sqrt{a^2-x^2}$

Por lo que $\displaystyle y_1 = b - \sqrt{a^2-x^2}$ y $\displaystyle y_2 = b+ \sqrt{a^2-x^2}$ . Sustituyendo en la fórmula

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx}$

$\displaystyle V_x = \pi \int_{-a}^{a}{\left[(b + \sqrt{a^2-x^2})^2 - (b- \sqrt{a^2-x^2})^2 \right] \, dx}$

$\displaystyle = \pi \int_{-a}^a{ \left[b^2 + 2b\sqrt{a^2-x^2} + (a^2-x^2 ) - b^2 + 2b\sqrt{a^2-x^2} - (a^2-x^2) \right] \, dx}$

$\displaystyle = \pi \int_{-a}^a{4b \sqrt{a^2-x^2} \, dx} = 4\pi b\int_{-a}^a{\sqrt{a^2-x^2} \, dx} = 4\pi b \left[\frac{1}{2} x\sqrt{a^2-x^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{x}{a})} \right]_{-a}^a$

$\displaystyle =4\pi b \left[\frac{1}{2} (a) \sqrt{a^2-a^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(\frac{a}{a})} \right] - 4\pi b \left[\frac{1}{2} (-a) \sqrt{a^2-a^2} + \frac{1}{2} a^2 \arcsin{(-\frac{a}{a})} \right]$

$\displaystyle = 4\pi b \left[\frac{1}{2} a^2 (\frac{\pi}{2}) + \frac{1}{2} a^2 (\frac{\pi}{2}) \right] = 4\pi b (\frac{1}{2} a^2 \pi) = 2a^2 b \pi^2$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V_x = 2a^2 b \pi^2 \, u^3$

Un sólido de revolución puede dividirse en cáscaras cilíndricas haciendo pasar por él un sistema de cilindros circulares cuyo eje común es el eje de revolución. Si el área $ACBD$ de la figura 4.6.7 gira alrededor del eje y, puede obtenerse

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_a^b{(y_2-y_1 ) \, x \, dx}$

Con $OM=x$ , $MP_1=y_1$ , $MP_2=y_2$ .

El elemento de volumen es ahora una cáscara cilíndrica de radio $r$ , altura $y_2-y_1$ y espesor $\Delta x$ .

Problemas resueltos

P1. Calcular el volumen del sólido engendrado haciendo girar alrededor del eje $x$ la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: $ay^2=x^3$ , $y=0$ y $x=a$ .

Solución.

Siendo el eje $x$ el de revolución y despejando $y$ de la ecuación $ay^2=x^3$ , resulta

$\displaystyle ay^2=x^3$

$\displaystyle y^2 = \frac{x^3}{a}$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{a}}$

Donde solo se considerará a $\displaystyle y_2 = \sqrt{\frac{x^3}{a}}$ ya que $y_1=0$ (mencionado en el enunciado). Sustituyendo en la fórmula de volumen, se tiene los siguiente

$\displaystyle V_x = \pi \int_a^b{(y_2^2-y_1^2 ) \, dx} = \pi \int_0^a{ \left[(\sqrt{\frac{x^3}{a}})^2 - 0^2 \right] \, dx} = \frac{\pi}{a} \int_0^a{x^3 \, dx}$

$\displaystyle = \frac{\pi}{a} \left[\frac{1}{4} x^4 + C\right]_0^a = \frac{\pi}{a} \left[\frac{1}{4} a^4 \right] = \frac{\pi}{4} a^3$

Finalmente

$\displaystyle \therefore V_x = \frac{\pi}{4} a^3 \, u^3$

P3. Calcular el volumen del sólido que se engendra haciendo girar alrededor del eje $y$ la superficie limitada por los siguientes lugares geométricos: $2y^2=x^3$ , $y=0$ y $x=2$ .

Solución.

Del enunciado, $y$ es el eje de revolución y despejándolo de la ecuación $2y^2=x^3$ , resulta

$\displaystyle 2y^2=x^3$

$\displaystyle y^2 = \frac{x^3}{2}$

$\displaystyle y = \pm \sqrt{\frac{x^3}{2}}$

Tomando solo $\displaystyle y_2 = \sqrt{\frac{x^3}{2}}$ , ya que $y_1=0$ (del enunciado, $y=0$ ), se sustituye en la fórmula siguiente

$\displaystyle V_y = 2\pi \int_a^b{(y_2-y_1 )x \, dx} = 2\pi \int_0^2{(\sqrt{\frac{x^3}{2}}-0)x \, dx}$

$\displaystyle = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \int_0^2{x^{\frac{5}{2}} \, dx} = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[\frac{2}{7} x^{\frac{7}{2}} + C\right]_0^2$

$\displaystyle = \frac{2\pi}{\sqrt{2}} \left[\frac{2}{7} (2)^{\frac{7}{2}} \right] - \frac{2\pi}{\sqrt{2}} [\frac{2}{7} (0)^{\frac{7}{2}} ]$

$\displaystyle = \frac{4\pi}{7} (2^3) = \frac{32}{7} \pi$

Finalmente

$\displaystyle\ \therefore V_y = \frac{32}{7} \pi \, u^3$

Un comentario sobre “Obtención de volúmenes de sólidos de revolución por integración. Cálculo integral.”

Carlos Guerra dice:

20 mayo, 2020 a las 12:38 pm

Estas son las mejores explicaciones del tema que he visto, se las recomiendo ampliamente: VIDEO 1: https://www.youtube.com/watch?v=QyIWrbnTVM4 VIDEO 2: https://www.youtube.com/watch?v=93nHvwYB3ns

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Publicado por Cesar Reyes

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