Contenido de potencia de una función periódica: teorema de Parseval. Fourier.

Introducción

El contenido de potencia de una función periódica $f(t)$ en el período $ $T$ está definido como el valor cuadrático medio

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt}$

Si se supone que la función $f(t)$ es una onda de voltaje o corriente, entonces esta ecuación representa la potencia promedio entregada por $f(t)$ a una resistencia de 1 Ω.

Teoremeas

Teorema 1. Si $f_1(t)$ y $f_2 (t)$ son dos funciones periódicas que tienen el mismo período $T$ , entonces

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n (c_2)_{-n}}$

donde $(c_1)_n$ y $(c_2)_n$ son los coeficientes complejos de Fourier de $f_1(t)$ y $f_2(t)$ , respectivamente.

Demostración del teorema 1. Sea

$\displaystyle f_1 (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n e^{jn\omega_0 t}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

donde

$\displaystyle (c_1)_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) e^{-j n \omega_n t} \, dt}$

Y sea

$\displaystyle f_2 (t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_2)_n e^{jn\omega_0 t}}$ , $\displaystyle \omega_0 = \frac{2\pi}{T}$

donde

$\displaystyle (c_2)_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_2 (t) e^{-j n \omega_n t} \, dt}$

Luego

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{\left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n e^{jn\omega_0 t}} \right] f_2 (t) \, dt}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{\left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{(c_1)_n e^{jn\omega_0 t} f_2 (t) \, dt} \right]}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n \left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_2 (t) e^{jn\omega_0 t} \, dt} \right]}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n \left[\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_2 (t) e^{-j(-n) \omega_0 t} \, dt} \right]}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n {(c_2)}_{-n}}$

Finalmente

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n {(c_2)}_{-n}}$

Teorema 2. El teorema de Parseval establece que si $f(t)$ es una función real y periódica, con período $T$ , entonces

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f(t)]^2 \, dt} = \sum_{-\infty}^{\infty}{|c_n|^2}$

donde las letras $c$ son los coeficientes complejos de Fourier de la función $f(t)$ .

Demostración del teorema 2. Haciendo $f_1 (t) = f_2 (t) = f(t)$ en la integral del primer miembro y ${c_1}_{n} = {c_2}_{n} = {c_1}_{-n} = {c_2}_{-n} = c_{-n} = c_n$ en la suma del segundo miembro, se tiene que

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_2 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n {(c_2)}_{-n}}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{f_1 (t) f_1 (t) \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{(c_1)_n {(c_1)}_{-n}}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n c_{-n}}$

Si $f(t)$ es real

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{c_n c_n^*}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{|c_n|^2}$

Y el teorema queda demostrado.

Teorema 3. La identidad de Parseval es

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{a_n^2 + b_n^2}$

donde las letras $a$ y $b$ son los coeficientes de Fourier de $f(t)$ .

Demostración del teorema 3. Recordando lo siguiente

$\displaystyle c_0 = \frac{1}{2} a_0$

$\displaystyle c_n = \frac{1}{2}(a_n - j b_n)$

$\displaystyle c_{-n} = \frac{1}{2}(a_n + j b_n)$

Se eleva al cuadrado cada uno

$\displaystyle c_0^2 = \frac{1}{4} a_0^2$

$\displaystyle |c_n|^2 = \frac{1}{4}(a_n^2 + b_n^2)$

$\displaystyle |c_{-n}|^2 = \frac{1}{4}(a_n^2 + b_n^2)$

Por lo que $c_n = c_{-n}$ .

Después, tomando el teorema de Parseval

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=-\infty}^{-1}{|c_n|^2} + |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=1}^{\infty}{|c_{-n}|^2} + |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \sum_{n=1}^{\infty}{|c_{n}|^2} + |c_0|^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = |c_0|^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2)}$

Finalmente

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2)}$

Teorema 4. El valor cuadrático medio de una función periódica $f(t)$ es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos.

Demostración del teorema 4. Recordando que la serie trigonométrica fue

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2} a_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{(a_n \cos{n \omega_0 t} + b_n \sin{n \omega_0 t})}$

también se podía expresar como

$\displaystyle f(t) = C_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{C_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}}$

Después, para el ármonico enésimo de $f(t)$

$\displaystyle f_n (t) = C_n \cos{(n \omega_0 t - \theta_n)}$

El valor rcm (raíz cuadrada media) es $C_n / \sqrt{2}$ ; por consiguiente, el valor cuadrático medio del armónico enésimo es $(C_n / \sqrt{2})^2$ .

Recordando que

$\displaystyle C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} = 2 |c_n|$

$\displaystyle C_0 = \frac{1}{2} a_0 = |c_0|$

Al elevarlos al cuadrado

$\displaystyle C_n^2 = (a_n^2 + b_n^2) = 4 |c_n|^2$

$\displaystyle C_0^2 = \frac{1}{4} a_0^2 = |c_0|^2$

O mejor dicho

$\displaystyle|c_n|^2 = \frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{4} C_n^2$

$\displaystyle C_0^2 = \frac{1}{4} a_0^2 = |c_0|^2$

Entonces, por el teorema 4

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = \frac{1}{4} a_0^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2)}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = |c_0|^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{|c_n|^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = C_0^2 + 2 \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{4} C_n^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = C_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{2} C_n^2}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = C_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{C_n^2}{2}}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = C_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{ \left| \frac{C_n^2}{{(\sqrt{2})}^2} \right|}$

$\displaystyle \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}{[f (t)]^2 \, dt} = C_0^2 + \sum_{n=1}^{\infty}{ \left| \frac{C_n}{\sqrt{2}} \right|^2}$

Y el teorema queda demostrado. Este último resultado indica que el valor cuadrático medio de una función periódica $f(t)$ , es igual a la suma de los valores cuadráticos medios de sus armónicos. Se observa que el contenido de potencia (el valor cuadrático medio) de una función periódica depende solamente de la amplitud de sus armónicos y no de sus fases.

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Publicado por Cesar Reyes

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