Introducción a la electrónica de potencia. Problema 8. Máquinas eléctricas.

Problema. La figura muestra un oscilador de relajación con los siguientes parámetros:

$R_1$ es variable	$R_2 = 1500 \ (\Omega)$
$C = 0.75 \ (\mu C)$	$V_{DC} = 100 \ (V)$
$V_{BO} = 24 \ (V)$	$I_H = 0.5 \ (mA)$

a) Dibuje los voltajes $v_C (t)$ , $v_D (t)$ y $v_0 (t)$ de este circuito.

b) Si $R_1$ se dimensiona normalmente como $500 \ (k\Omega)$ , calcule el periodo de este oscilador de relajación.

Solución a). Los voltajes $v_C (t)$ , $v_D (t)$ y $v_0 (t)$ se muestran a continuación

Figura 3.8.2
Figura 3.8.3
Figura 3.8.4

Se observa que los voltajes $v_C (t)$ y $v_D (t)$ muestran el mismo aspecto durante la parte ascendente del ciclo. Después, de que el diodo PNPN dispare, los voltajes a través del capacitor, decae con una constante de tiempo $\displaystyle \tau_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}C$ , mientras que el voltaje a través del diodo disminuye inmediatamente.

Solución b). Cuando el voltaje se aplica por primera vez al circuito, el capacitor $C$ carga con la constante de tiempo $\tau_1 = R_1 C = (500 \times 10^{3} \Omega)(500 \times 10^{-6} F) = 0.50 \ (s)$ . La ecuación para el voltaje en el capacitor como una función del tiempo durante la parte de carga del ciclo es

$\displaystyle \sum{i} = 0$

$\displaystyle i_1 + i_C = 0$

$\displaystyle \frac{v_C - V_{DC}}{R_1} + C \frac{dv_C}{dt} = 0$

$\displaystyle \frac{v_C}{R_1} - \frac{V_{DC}}{R_1} + C \frac{dv_C}{dt} = 0$

$\displaystyle C \frac{dv_C}{dt} + \frac{v_C}{R_1} = \frac{v_{DC}}{R_1}$

$\displaystyle \frac{dv_C}{dt} + \frac{1}{R_1 C}v_C = \frac{v_{DC}}{R_1 C}$

Resolviendo por factor integrante

$\displaystyle v_C \cdot e^{\int{\frac{1}{R_1 C} \ dt}} = \int{\frac{V_{DC}}{R_1 C} \cdot e^{\int{\frac{1}{R_1 C} \ dt}} \ dt}$

$\displaystyle v_C \cdot e^{\frac{1}{R_1 C} t} = \frac{V_{DC}}{R_1 C} \int{e^{\frac{1}{R_1 C}t} \ dt}$

$\displaystyle v_C \cdot e^{\frac{1}{R_1 C} t} = V_{DC} e^{\frac{1}{R_1 C}t} + A$

$\displaystyle v_C = V_{DC} + A e^{-\frac{1}{R_1 C}t}$

Para determinar la constante de integración (es decir, $A$ ), basta con utilizar la condición inicial $v_C (0) = 0$ y aplicarlo en último resultado

$\displaystyle v_C (0) = V_{DC} + A e^{-\frac{1}{R_1 C}(0)}$

$\displaystyle 0 = V_{DC} + A$

$\displaystyle A = - V_{DC}$

Entonces

$\displaystyle v_C = V_{DC} + A e^{-\frac{1}{R_1 C}t}$

$\displaystyle v_C = V_{DC} - V_{DC} e^{-\frac{1}{R_1 C}t}$

Como $V_{DC} = 100 \ (V)$

$\displaystyle v_C = 100 - 100 e^{-\frac{1}{R_1 C}t}$

El tiempo en que el capacitor alcanzará al voltaje ruptura se encuentra configurando $v_C (t) = V_{BO}$ y resolviendo para $t_1$

$\displaystyle 30 = 100 - 100 e^{-\frac{1}{0.50}t_1}$

$\displaystyle 100 e^{-\frac{1}{0.50}t_1} = 100 - 30 = 70$

$\displaystyle e^{-\frac{1}{0.50}t_1} = 0.70$

$\displaystyle \ln{e^{-\frac{1}{0.50}t_1}}= \ln{0.70}$

$\displaystyle -\frac{1}{0.50}t_1 = \ln{0.70}$

$\displaystyle t_1 = -0.50 \ln{0.70}$

$t_1 \approx 0.178 \ (s)$

Una vez de que el diodo PNPN dispara, el capacitor se descarga junto con la combinación en paralelo de las resistencias $R_1$ y $R_2$ , así que la constante de tiempo para esta descarga es