Métodos para determinar la transformada inversa de Laplace. Resumen. Laplace.

Método de las fracciones parciales

Una función racional, $\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)}$ , donde $P(s)$ y $Q(s)$ son polinomios en los cuales el grado de $P(s)$ es el menor que el de $Q(s)$ , puede escribirse como una suma de fracciones racionales (denominados fracciones parciales) de la forma

$\displaystyle \frac{A}{(as+b)^m}$ , $\displaystyle \frac{As+B}{(as^2+bs+c)^m}$

donde $m=1, 2, 3, \cdots$ . Hallando sus transformadas inversas de Laplace, se puede determinar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{P(s)}{Q(s)}\right]$ .

Las constantes $A, B, \cdots$ se pueden hallar expresando convenientemente las fracciones parciales e igualando los coeficientes de las potencias iguales de $s$ a ambos lados de la ecuación resultante, o bien, utilizando métodos especiales.

Método de las series

Si $F(s)$ tiene un desarrollo en serie de potencias de los recíprocos de $s$ dado por

$\displaystyle F(s) = \frac{a_0}{s} + \frac{a_1}{s^2} + \frac{a_2}{s^3} + \frac{a_3}{s^4} + \cdots$

entonces, dentro de algunas condiciones, se puede invertir término por término para obtener lo siguiente

$\displaystyle f(t) = a_0 + a_1 t + \frac{a_2 t}{2!} + \frac{a_3 t}{3!} + \cdots$

Método de las ecuaciones diferenciales

Este es un procedimiento que se debe aplicar la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (lado izquierdo y lado derecho) y utilizar las propiedades y teoremas y, por último, realizar despejes para obtener $f(t)$ .

Derivación con respecto a un parámetro

Este método consiste en derivar la expresión $F(s)$ con respecto a un parámetro diferente de $s$ y después aplicar la transformada inversa de Laplace.

Fórmula de inversión compleja

Para obtener $\mathcal{L}^{-1}[F(s)]$ , se utiliza la siguiente fórmula

$\displaystyle f(t) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i \infty}^{\gamma + i \infty}{e^{st} F(s) ds}$ , $t>0$

y $f(t) = 0$ para $t<0$ . Este resultado se llama la inversión integral compleja o fórmula de inversión compleja.

Fórmula de desarrollo de Heaviside

Publicado por Cesar Reyes

Dedicado a compartir información temas referentes al cálculo básicos, intermedios y avanzados mediante presentaciones PDF, videos y publicaciones en este sitio web. Ver todas las entradas de Cesar Reyes

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