Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando álgebra. Laplace.

Introducción

Una función racional, $\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)}$ , donde $P(s)$ y $Q(s)$ son polinomios en los cuales el grado de $P(s)$ es el menor que el de $Q(s)$ , puede escribirse como una suma de fracciones racionales (denominados fracciones parciales) de la forma

$\displaystyle \frac{A}{(as+b)^m}$ , $\displaystyle \frac{As+B}{(as^2+bs+c)^m}$

donde $m=1, 2, 3, \cdots$ . Hallando sus transformadas inversas de Laplace, se puede determinar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right]$ .

Las constantes $A, B, \cdots$ se pueden hallar expresando convenientemente las fracciones parciales e igualando los coeficientes de las potencias iguales de $s$ a ambos lados de la ecuación resultante, o bien, utilizando métodos especiales. Existen cuatro casos para poder aplicar el método de fracciones parciales en un modo algebráico.

CASO 1. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON TODOS DEL PRIMER GRADO (LINEALES), Y NINGUNO SE REPITE.

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A}{(s - a_1)} + \frac{B}{(s-a_2)} + \frac{C}{(s -a_3)} + ... + \frac{K}{(s - a_i)}$

CASO 2. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON TODOS DE PRIMER GRADO (LINEALES), Y ALGUNOS SE REPITEN.

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A}{{(s-a_1)}^n} + \frac{B}{{(s-a_1)}^{n-1}} + \frac{C}{{(s-a_1)}^{n-2}} + ... + \frac{K}{(s-a_1)}$

CASO 3. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON LINEALES Y CUADRATICOS (PRIMER Y SEGUNDO GRADO) Y NINGUNO DE LOS FACTORES CUADRATICOS SE REPITEN

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{As+B}{s^2+ps+q}$

CASO 4. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON LINEALES Y CUADRATICOS (PRIMEROS Y SEGUNDOS GRADOS) Y ALGUNOS DE LOS FACTORES CUADRATICOS SE REPITEN

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{As+B}{(s^2+ps+q)^n} + \frac{Cs+D}{(s^2+ps+q)^{n-1}} + ... + \frac{Ks+L}{(s^2+ps+q)}$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{s^2-2s-3} \right]$ .

Solución. Factorizando el denominador

$\displaystyle \frac{3s+7}{s^2-2s-3} = \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)}$

Después, se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1}$

En el primer miembro (antes del símbolo igual), se despeja el numerador y se multiplica todo por el segundo miembro.

$\displaystyle 3s+7 = (s-3)(s+1) \left(\frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1} \right)$

$\displaystyle 3s+7 = A(s+1) + B(s-3)$

$\displaystyle 3s+7 = As+A + Bs-3B$

Factorizando los términos

$\displaystyle 3s+7 = (A+B)s+(A -3B)$

Por el método de igualación, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

$A+B = 3$ y $A-3B = 7$

La solución de este sistema es $A=4$ y $B=-1$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1}$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{4}{s-3} + \frac{(-1)}{s+1}$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{4}{s-3} - \frac{1}{s+1}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{s-3} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-3} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4e^{3t} - e^{t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4e^{3t} - e^{t}$

Problema 2. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right]$ .

Solución. Se distribuye a cuatro términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

En el primer miembro (antes del símbolo igual), se despeja el numerador y se multiplica todo por el segundo miembro.

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = (s+1)(s-2)^3 \left[ \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = A (s-2)^3 + B(s-2)^2(s+1) + C(s-2)(s+1) + D(s+1)$

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = A (s^3-6s^2+12s-8) + B(s^2-4s+4)(s+1) + C(s-2)(s+1) + D(s+1)$

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = A (s^3-6s^2+12s-8) + B(s^3-3s^2+4) + C(s^2-s-2) + D(s+1)$

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = As^3-6As^2+12As-8A + Bs^3-3Bs^2+4B + Cs^2-Cs-2C + Ds+D$

Factorizando los términos

$\displaystyle 5s^2-15s-11 = (A-B)s^3 + (-6A - 3B + C)s^2 + (12A - C + D)s + (-8A +4B -2C+D)$

Por el método de igualación, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

La solución de este sistema es $A=-1/3$ , $B=-7$ , $C=4$ y $D=1/3$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{(-1/3)}{(s+1)} + \frac{(-7)}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = - \frac{1/3}{(s+1)} - \frac{7}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ - \frac{1/3}{(s+1)} - \frac{7}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)} \right] - 7 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^3} \right] + 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2} \right] + \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{7}{2} t^2 e^{2t} + 4 t e^{2t} + \frac{1}{3} e^{2t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{7}{2} t^2 e^{2t} + 4 t e^{2t} + \frac{1}{3} e^{2t}$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right]$ .

Solución. Se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

En el primer miembro (antes del símbolo igual), se despeja el numerador y se multiplica todo por el segundo miembro.

$\displaystyle 3s+1 = (s-1)(s^2+1) \left[\frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle 3s+1 = A(s^2+1) + (Bs+C)(s-1)$

$\displaystyle 3s+1 = As^2+A + Bs^2- Bs +Cs-C$

Factorizando los términos

$\displaystyle 3s+1 = (A+B)s^2+(-B +C)s+ (A-C)$

Por el método de igualación, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

La solución de este sistema es $A=2$ , $B=-2$ y $C=1$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{2}{(s-1)} + \frac{-2s+1}{(s^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{2}{(s-1)} - \frac{2s}{(s^2+1)} + \frac{1}{(s^2+1)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2}{(s-1)} - \frac{2s}{(s^2+1)} + \frac{1}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2}{(s-1)} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s}{(s^2+1)} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s-1)} \right] - 2 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+1)} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s^2+1)} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}$

Problema 4. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right]$ .

Solución. Se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5}$

En el primer miembro (antes del símbolo igual), se despeja el numerador y se multiplica todo por el segundo miembro.

$\displaystyle s^2+2s+3 = (s^2+2s+2)(s^2+2s+5) \left[\frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle s^2+2s+3 = (s^2+2s+2)(s^2+2s+5) \left[\frac{As+B}{s^2+2s+2} \right] + (s^2+2s+2)(s^2+2s+5) \left[\frac{Cs+D}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle s^2+2s+3 = (As+B)(s^2+2s+5) + (Cs+D) (s^2+2s+2)$

$\displaystyle s^2+2s+3 = As^3+2As^2+5As+Bs^2+2Bs+5B + Cs^3+2Cs^2+2Cs+Ds^2+2Ds+2D$

Factorizando los términos

$\displaystyle s^2+2s+3 = (A+C)s^3 + (2A+B+2C+D)s^2 + (5A+2B+2C+2D)s + (5B+2D)$

Por el método de igualación, se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas con dos incógnitas.

La solución de este sistema es $A=0$ , $B=1/3$ , $C=0$ y $D=2/3$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5}$

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{0s+1/3}{s^2+2s+2} + \frac{0s+2/3}{s^2+2s+5}$

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{1/3}{s^2+2s+2} + \frac{2/3}{s^2+2s+5}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1/3}{s^2+2s+2} + \frac{2/3}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1/3}{s^2+2s+2} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2/3}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+(\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+(\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+(1)^2 - (1)^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+(1)^2 - (1)^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 - (1)^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 - (1)^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 - 1 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 - 1 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 +1} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 + 4} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} \sin{t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} e^{-t} \sin{2t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} \sin{t} + \frac{1}{3} e^{-t} \sin{2t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} (\sin{t} + \sin{2t})$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} (\sin{t} + \sin{2t})$

Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando álgebra. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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