Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando límites. Laplace.

Introducción

Una función racional, $\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)}$ , donde $P(s)$ y $Q(s)$ son polinomios en los cuales el grado de $P(s)$ es el menor que el de $Q(s)$ , puede escribirse como una suma de fracciones racionales (denominados fracciones parciales) de la forma

$\displaystyle \frac{A}{(as+b)^m}$ , $\displaystyle \frac{As+B}{(as^2+bs+c)^m}$

donde $m=1, 2, 3, \cdots$ . Hallando sus transformadas inversas de Laplace, se puede determinar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{P(s)}{Q(s)} \right]$ .

Existe un método para hallar los valores de los coeficientes de cada fracción racional y es utilizando la evaluación de límites. Para poder aplicar este método, es necesario desarrollar la función racional en la suma de fracciones y la expresión que se indica en el denominador, se iguala a cero y se despeja la variable $s$ ; lo que indique el valor numérico, es el valor que se toma a evaluar en el límite. La expresión que se igualó a cero, esa expresión deberá ser multiplicada por el resto de la suma de fracciones racionales con el fin de evitar una indeterminación o un resultado infinito.

Durante el desarrollo de la suma de fracciones, del denominador, se tienen los siguientes casos:

CASO 1. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON TODOS DEL PRIMER GRADO (LINEALES), Y NINGUNO SE REPITE.

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A}{(s - a_1)} + \frac{B}{(s-a_2)} + \frac{C}{(s -a_3)} + ... + \frac{K}{(s - a_i)}$

CASO 2. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON TODOS DE PRIMER GRADO (LINEALES), Y ALGUNOS SE REPITEN.

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A}{{(s-a_1)}^n} + \frac{B}{{(s-a_1)}^{n-1}} + \frac{C}{{(s-a_1)}^{n-2}} + ... + \frac{K}{(s-a_1)}$

CASO 3. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON LINEALES Y CUADRATICOS (PRIMER Y SEGUNDO GRADO) Y NINGUNO DE LOS FACTORES CUADRATICOS SE REPITEN

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{As+B}{s^2+ps+q}$

CASO 4. LOS FACTORES DEL DENOMINADOR SON LINEALES Y CUADRATICOS (PRIMEROS Y SEGUNDOS GRADOS) Y ALGUNOS DE LOS FACTORES CUADRATICOS SE REPITEN

$\displaystyle \frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{As+B}{(s^2+ps+q)^n} + \frac{Cs+D}{(s^2+ps+q)^{n-1}} + ... + \frac{Ks+L}{(s^2+ps+q)}$

Problemas resueltos

Problema 1. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{s^2-2s-3} \right]$ .

Solución. Factorizando el denominador

$\displaystyle \frac{3s+7}{s^2-2s-3} = \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)}$

Después, se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1}$

Se toma el primer término del denominador (obtenido del primer miembro) y este se despeja y multiplica al segundo miembro.

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s+1)} = (s-3) \left[\frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s+1)} = (s-3) \left[\frac{A}{s-3} \right] + (s-3) \left[\frac{B}{s+1} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s+1)} = A + \frac{B(s-3)}{s+1}$

Por tomar ese término, se evalúa el límite cuando $s \rightarrow 3$ en ambos miembros.

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 3}{\frac{3s+7}{(s+1)}} = \lim_{s \rightarrow 3}{\left[A + \frac{B(s-3)}{s+1} \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 3}{\frac{3s+7}{(s+1)}} = \lim_{s \rightarrow 3}{A} + \lim_{s \rightarrow 3}{\frac{B(s-3)}{s+1}}$

$\displaystyle \frac{3(3)+7}{(3+1)} = A + \frac{B(3-3)}{3+1}$

$\displaystyle \frac{9+7}{4} = A + \frac{B(0)}{4}$

$\displaystyle \frac{16}{4} = A$

$\displaystyle 4 = A$

$\displaystyle A = 4$

Aplicando este procedimiento para el segundo término, resulta que

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)} = (s+1) \left[\frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)} = (s+1) \left[\frac{A}{s-3} \right] + (s+1) \left[\frac{B}{s+1} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)} = \frac{A(s+1)}{s-3} + B$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{3s+7}{(s-3)}}= \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{A(s+1)}{s-3} + B}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{3s+7}{(s-3)}}= \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{A(s+1)}{s-3}}+ \lim_{s \rightarrow -1}{B}$

$\displaystyle \frac{3(-1)+7}{(-1-3)} = \frac{A(-1+1)}{-1-3} + B$

$\displaystyle \frac{-3+7}{(-4)} = \frac{A(0)}{-4} + B$

$\displaystyle \frac{4}{(-4)} = 0 + B$

$\displaystyle -1 = B$

$\displaystyle B = -1$

Así que, utilizando la evaluación de límites, los valores de cada coeficiente son $A=4$ y $B=-1$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{A}{s-3} + \frac{B}{s+1}$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{4}{s-3} + \frac{(-1)}{s+1}$

$\displaystyle \frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} = \frac{4}{s-3} - \frac{1}{s+1}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{4}{s-3} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-3} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4e^{3t} - e^{t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+7}{(s-3)(s+1)} \right] = 4e^{3t} - e^{t}$

Problema 2. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right]$ .

Solución. Se distribuye a cuatro términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

Se toma el primer término del denominador (obtenido del primer miembro) y este se despeja y multiplica al segundo miembro.

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s-2)^3} = (s+1) \left[ \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s-2)^3} = (s+1) \left[ \frac{A}{(s+1)} \right] + (s+1) \left[ \frac{B}{(s-2)^3} \right] + (s+1) \left[\frac{C}{(s-2)^2} \right] + (s+1) \left[\frac{D}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s-2)^3} = A + \frac{B(s+1)}{(s-2)^3} + \frac{C(s+1)}{(s-2)^2} + \frac{D(s+1)}{(s-2)}$

Por tomar ese término, se evalúa el límite cuando $s \rightarrow -1$ en ambos miembros.

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{5s^2-15s-11}{(s-2)^3}} = \lim_{s \rightarrow -1}{\left[A + \frac{B(s+1)}{(s-2)^3} + \frac{C(s+1)}{(s-2)^2} + \frac{D(s+1)}{(s-2)} \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{5s^2-15s-11}{(s-2)^3}} = \lim_{s \rightarrow -1}{A} + \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{B(s+1)}{(s-2)^3}} + \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{C(s+1)}{(s-2)^2}} + \lim_{s \rightarrow -1}{\frac{D(s+1)}{(s-2)}}$

$\displaystyle \frac{5(-1)^2-15(-1)-11}{(-1-2)^3} = A + \frac{B(-1+1)}{(-1-2)^3} + \frac{C(-1+1)}{(-1-2)^2} + \frac{D(-1+1)}{(-1-2)}$

$\displaystyle \frac{5(1)-15(-1)-11}{(-3)^3} = A + \frac{B(0)}{(-3)^3} + \frac{C(0)}{(-3)^2} + \frac{D(0)}{(-3)}$

$\displaystyle \frac{5+15-11}{-27} = A + 0 + 0 + 0$

$\displaystyle \frac{9}{-27} = A$

$\displaystyle - \frac{1}{3} = A$

$\displaystyle A = - \frac{1}{3}$

Aplicando este procedimiento para el segundo término, resulta lo siguiente

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)} = (s-2)^3 \left[\frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)} = (s-2)^3 \left[\frac{A}{(s+1)} \right] + (s-2)^3 \left[\frac{B}{(s-2)^3} \right] + (s-2)^3 \left[\frac{C}{(s-2)^2} \right] + (s-2)^3 \left[\frac{D}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)} = \frac{A(s-2)^3}{(s+1)} .+ B + C(s-2) + D (s-2)^2$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 2}{\frac{5s^2-15s-11}{(s+1)}} = \lim_{s \rightarrow 2}{\left[\frac{A(s-2)^3}{(s+1)}.+ B + C(s-2) + D (s-2)^2 \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 2}{\frac{5s^2-15s-11}{(s+1)}} = \lim_{s \rightarrow 2}{\frac{A(s-2)^3}{(s+1)}}.+ \lim_{s \rightarrow 2}{B} + \lim_{s\rightarrow 2}{C(s-2)} + \lim_{s \rightarrow 2}{D (s-2)^2}$

$\displaystyle \frac{5(2)^2-15(2)-11}{(2+1)} = \frac{A(2-2)^3}{(2+1)} .+ B + C(2-2) + D (2-2)^2$

$\displaystyle \frac{5(4)-15(2)-11}{(3)} = \frac{A(0)^3}{(3)} .+ B + C(0) + D (0)^2$

$\displaystyle \frac{20-30-11}{(3)} = B$

$\displaystyle \frac{-21}{(3)} = B$

$\displaystyle -7 = B$

$\displaystyle B=-7$

Aquí no se puede continuar utilizando límites debido al término $(s-2)^3$ . Para poder hallar los valores de los coeficientes $C$ y $D$ , se utilizará álgebra.

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{(-1/3)}{(s+1)} + \frac{(-7)}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = -\frac{1/3}{(s+1)} - \frac{7}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

Arbitrariamente se asignan dos valores a $s$ , para este caso serán cuando $s = 0$

$\displaystyle \frac{5(0)^2-15(0)-11}{(0+1)(0-2)^3} = -\frac{1/3}{(0+1)} - \frac{7}{(0-2)^3} + \frac{C}{(0-2)^2} + \frac{D}{(0-2)}$

$\displaystyle \frac{-11}{(1)(-2)^3} = -\frac{1/3}{(1)} - \frac{7}{(-2)^3} + \frac{C}{(-2)^2} + \frac{D}{(-2)}$

$\displaystyle \frac{-11}{-8} = -\frac{1}{3} - \frac{7}{-8} + \frac{C}{4} + \frac{D}{-2}$

$\displaystyle \frac{11}{8} = -\frac{1}{3} + \frac{7}{8} + \frac{C}{4} - \frac{D}{2}$

Y cuando $s = 1$ .

$\displaystyle \frac{5(1)^2-15(1)-11}{(1+1)(1-2)^3} = -\frac{1/3}{(1+1)} - \frac{7}{(1-2)^3} + \frac{C}{(1-2)^2} + \frac{D}{(1-2)}$

$\displaystyle \frac{5(1)-15(1)-11}{(2)(-1)^3} = -\frac{1/3}{(2)} - \frac{7}{(-1)^3} + \frac{C}{(-1)^2} + \frac{D}{(-1)}$

$\displaystyle \frac{5-15-11}{-2} = -\frac{1}{6} - \frac{7}{-1} + \frac{C}{1} + \frac{D}{-1}$

$\displaystyle \frac{21}{2} = -\frac{1}{6} + 7 + C - D$

Al reunir las ecuaciones, se tiene el siguiente sistema

\displaystyle \frac{11}{8} = -\frac{1}{3} + \frac{7}{8} + \frac{C}{4} - \frac{D}{2}

\displaystyle \frac{21}{2} = -\frac{1}{6} + 7 + C - D

La solución de este sistema es $C=4$ y $D=1/3$ . Entonces, los coeficientes son $A=-1/3$ , $B=-7$ , $C=4$ y $D=1/3$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{A}{(s+1)} + \frac{B}{(s-2)^3} + \frac{C}{(s-2)^2} + \frac{D}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = \frac{(-1/3)}{(s+1)} + \frac{(-7)}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)}$

$\displaystyle \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} = - \frac{1/3}{(s+1)} - \frac{7}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ - \frac{1/3}{(s+1)} - \frac{7}{(s-2)^3} + \frac{4}{(s-2)^2} + \frac{1/3}{(s-2)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)} \right] - 7 \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^3} \right] + 4 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)^2} \right] + \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s-2)} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{7}{2} t^2 e^{2t} + 4 t e^{2t} + \frac{1}{3} e^{2t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{5s^2-15s-11}{(s+1)(s-2)^3} \right] = - \frac{1}{3} e^{-t} - \frac{7}{2} t^2 e^{2t} + 4 t e^{2t} + \frac{1}{3} e^{2t}$

Problema 3. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} \right]$ .

Solución. Se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

Tomando el primer término del denominador (obtenido del primer miembro) y este se despeja y se multiplica por todos los términos del segundo miembro.

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s^2+1)} = (s-1) \left[\frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s^2+1)} = (s-1) \left[\frac{A}{(s-1)} \right] + (s-1) \left[\frac{Bs+C}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s^2+1)} = A + \frac{(Bs+C)(s-1)}{(s^2+1)}$

Por tomar el término $(s-1)$ , se evalúa el límite cuando $s \rightarrow 1$ .

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 1}{\frac{3s+1}{(s^2+1)}} = \lim_{s \rightarrow 1}{ \left[ A + \frac{(Bs+C)(s-1)}{(s^2+1)} \right]}$

$\displaystyle \lim_{s \rightarrow 1}{\frac{3s+1}{(s^2+1)}} = \lim_{s \rightarrow 1}{A} + \lim_{s \rightarrow 1}{\frac{(Bs+C)(s-1)}{(s^2+1)}}$

$\displaystyle \frac{3(1)+1}{(1^2+1)} = A + \frac{[B(1)+C](1-1)}{(1^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3+1}{(1+1)} = A + \frac{(B+C)(0)}{(1+1)}$

$\displaystyle \frac{4}{2} = A$

$\displaystyle 2 = A$

$\displaystyle A = 2$

Para evitar números complejos [del caso de ( $s^2+1$ )], los valores de $B$ y $C$ se asignan dos valores a $s$ . Primero se reemplaza el valor de $A$ por 2.

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{2}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

Ahora, se asigna el valor de $s$ cuando $s=0$

$\displaystyle \frac{3(0)+1}{(0-1)(0^2+1)} = \frac{2}{(0-1)} + \frac{B(0)+C}{(0^2+1)}$

$\displaystyle \frac{0+1}{(-1)(1)} = \frac{2}{(-1)} + \frac{C}{(1)}$

$\displaystyle \frac{1}{-1} = -2 + C$

$\displaystyle -1 = -2 + C$

$\displaystyle C - 2 = -1$

y cuando $s=2$

$\displaystyle \frac{3(2)+1}{(2-1)(2^2+1)} = \frac{2}{(2-1)} + \frac{B(2)+C}{(2^2+1)}$

$\displaystyle \frac{6+1}{(1)(4+1)} = \frac{2}{(1)} + \frac{2B+C}{(4+1)}$

$\displaystyle \frac{7}{(1)(5)} = 2 + \frac{2B+C}{5}$

$\displaystyle \frac{7}{5} = 2 + \frac{2}{5}B + \frac{1}{5} C$

$\displaystyle \frac{2}{5}B + \frac{1}{5} C = - \frac{3}{5}$

Al tomar estas dos ecuaciones, se tiene el sistema

\displaystyle \frac{2}{5}B + \frac{1}{5} C = - \frac{3}{5}

La solución de este sistema es $B=-2$ y $C=1$ . Los valores de los coeficientes son $A=2$ , $B=-2$ y $C=1$ . Con estos valores se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{A}{(s-1)} + \frac{Bs+C}{(s^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{2}{(s-1)} + \frac{-2s+1}{(s^2+1)}$

$\displaystyle \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)} = \frac{2}{(s-1)} - \frac{2s}{(s^2+1)} + \frac{1}{(s^2+1)}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2}{(s-1)} - \frac{2s}{(s^2+1)} + \frac{1}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{2}{(s-1)} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2s}{(s^2+1)} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s^2+1)} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s-1)} \right] - 2 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s}{(s^2+1)} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s^2+1)} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{3s+1}{(s-1)(s^2+1)}\right] = 2 e^{t} - 2 \cos{t} + \sin{t}$

Problema 4. Hallar $\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right]$ .

Solución. Se distribuye a dos términos más (método de fracciones parciales)

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5}$

En este caso no se puede utilizar la evaluación de límites. Por lo que solo se asignarán valores de $s$ . Cuando $s=1$

$\displaystyle \frac{1^2+2(1)+3}{(1^2+2(1)+2)(1^2+2(1)+5)} = \frac{A(1)+B}{1^2+2(1)+2} + \frac{C(1)+D}{1^2+2(1)+5}$

$\displaystyle \frac{1+2+3}{(1+2+2)(1+2+5)} = \frac{A+B}{1+2+2} + \frac{C+D}{1+2+5}$

$\displaystyle \frac{6}{(5)(8)} = \frac{A+B}{5} + \frac{C+D}{8}$

$\displaystyle \frac{3}{20} = \frac{1}{5} A + \frac{1}{5}B + \frac{1}{8} C + \frac{1}{8}D$

$\displaystyle \frac{1}{5} A + \frac{1}{5}B + \frac{1}{8} C + \frac{1}{8}D = \frac{3}{20}$

cuando $s=-1$

$\displaystyle \frac{(-1)^2+2(-1)+3}{[(-1)^2+2(-1)+2][(-1)^2+2(-1)+5]} = \frac{A(-1)+B}{(-1)^2+2(-1)+2} + \frac{C(-1)+D}{(-1)^2+2(-1)+5}$

$\displaystyle \frac{1-2+3}{(1-2+2)(1-2+5)} = \frac{-A+B}{1-2+2} + \frac{-C+D}{1-2+5}$

$\displaystyle \frac{2}{(1)(4)} = \frac{-A+B}{1} + \frac{-C+D}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{2} = - A + B - \frac{1}{4}C + \frac{1}{4} D$

$\displaystyle - A + B - \frac{1}{4}C + \frac{1}{4} D = \frac{1}{2}$

cuando $s=\infty$ (una vez ya multiplicado por $s$ toda la ecuación)

$\displaystyle s \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = s\left[\frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5}\right]$

$\displaystyle \frac{s^3+2s^2+3s}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{As^2+Bs}{s^2+2s+2} + \frac{Cs^2+Ds}{s^2+2s+5}$

$\displaystyle \frac{(\infty)^3+2(\infty)^2+3(\infty)}{[(\infty)^2+2(\infty)+2][(\infty)^2+2(\infty)+5]} = \frac{A(\infty)^2+B(\infty)}{(\infty)^2+2(\infty)+2} + \frac{C(\infty)^2+D(\infty)}{(\infty)^2+2(\infty)+5}$

$\displaystyle 0 = A+C$

$\displaystyle A+C=0$

Y cuando $s=0$

$\displaystyle \frac{0^2+2(0)+3}{[0^2+2(0)+2][0^2+2(0)+5]} = \frac{A(0)+B}{0^2+2(0)+2} + \frac{C(0)+D}{0^2+2(0)+5}$

$\displaystyle \frac{3}{(2)(5)} = \frac{B}{2} + \frac{D}{5}$

$\displaystyle \frac{3}{10} = \frac{1}{2}B + \frac{1}{5}D$

$\displaystyle \frac{1}{2}B + \frac{1}{5}D = \frac{3}{10}$

Tomando todas las ecuaciones, se tienen lo siguiente

\displaystyle \frac{1}{5} A + \frac{1}{5}B + \frac{1}{8} C + \frac{1}{8}D = \frac{3}{20}

\displaystyle - A + B - \frac{1}{4}C + \frac{1}{4} D = \frac{1}{2}

La solución de este sistema es $A=0$ , $B=1/3$ , $C=0$ y $D=2/3$ . Con los valores de estos coeficientes, se sustituyen en la expresión anterior.

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{As+B}{s^2+2s+2} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+5}$

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{0s+1/3}{s^2+2s+2} + \frac{0s+2/3}{s^2+2s+5}$

$\displaystyle \frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} = \frac{1/3}{s^2+2s+2} + \frac{2/3}{s^2+2s+5}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros (es decir, utilizando el símbolo $\mathcal{L}^{-1}$ )

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1/3}{s^2+2s+2} + \frac{2/3}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1/3}{s^2+2s+2} \right] + \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2/3}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+(\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+(\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{s^2+2s+(1)^2 - (1)^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s^2+2s+(1)^2 - (1)^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 - (1)^2 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 - (1)^2 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 - 1 +2} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 - 1 +5} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[ \frac{1}{(s+1)^2 +1} \right] + \frac{2}{3} \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{(s+1)^2 + 4} \right]$

Resolviendo

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} \sin{t} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} e^{-t} \sin{2t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} \sin{t} + \frac{1}{3} e^{-t} \sin{2t}$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} (\sin{t} + \sin{2t})$

Finalmente

$\displaystyle \therefore \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{s^2+2s+3}{(s^2+2s+2)(s^2+2s+5)} \right] = \frac{1}{3} e^{-t} (\sin{t} + \sin{2t})$

Método de fracciones parciales para obtener la transformada inversa de Laplace utilizando límites. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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