Solución ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas utilizando la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Dado un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas $\displaystyle \left\{\begin{matrix} x^n(t) = g(t) \\ y^m (t) = h(t) \end{matrix} \right.$ donde $g(t)$ y $h(t)$ son funciones en términos de $t$ , puede resolver utilizando el método de Cramer para obtener $x(t)$ y $y(t)$ . El procedimiento para llegar a ese resultado es el siguiente:

Paso 1. Aplicar la transformada de Laplace en cada función del sistema ( $\mathcal{L} [x(t)]$ y $\mathcal{L} y(t)$ ) y utilizar sus condiciones iniclaes.

Paso 2. Aplicar el método de Cramer para obtener $X(s)$ y $Y(s)$ teniendo determinado $\Delta X(s)$ , $\Delta Y(s)$ y $\Delta$ ; sus fórmulas a utilizar son

$\displaystyle X(s) = \frac{\Delta X(s)}{\Delta}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{\Delta Y(s)}{\Delta}$

Paso 3. Aplicar la transformada inversa de Laplace en los resultados de $X(s)$ y $Y(s)$ .

Problemas resueltos

Problema 1. Resolver $\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x'(t) = 2x - 3y \\ y'(t) = y - 2x \end{matrix} \right.$ con las condiciones $x(0) = 8$ y $y(0) = 3$ .

Solución. Se determina la transformada de Laplace en el sistema en ambos lados.

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} x'(t) = 2x - 3y \\ y'(t) = y - 2x \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \mathcal{L} [x'(t)] = \mathcal{L} [2x - 3y] \\ \mathcal{L} [y'(t)] = \mathcal{L} [y - 2x] \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \mathcal{L} [x'(t)] = \mathcal{L} [2x] - \mathcal{L} [3y] \\ \mathcal{L} [y'(t)] = \mathcal{L} [y] - \mathcal{L} [2x] \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} \mathcal{L} [x'(t)] = 2 \mathcal{L} [x] - 3 \mathcal{L} [y] \\ \mathcal{L} [y'(t)] = \mathcal{L} [y] - 2 \mathcal{L} [x] \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} sX(s) - x(0) = 2 X(s) - 3 Y(s) \\ s Y(s) - y(0) = Y(s) - 2 X(s) \end{matrix} \right.$

Sabiendo que $x(0)=8$ y $y(0) = 3$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} sX(s) - 8 = 2 X(s) - 3 Y(s) \\ s Y(s) - 3 = Y(s) - 2 X(s) \end{matrix} \right.$

Colocando las variables dependientes en el lado izquierdo (es decir, los términos $X(s)$ y $Y(s)$ ) y las constantes en el lado derecho, el sistema a resolver es el siguiente

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} sX(s) - 8 = 2 X(s) - 3 Y(s) \\ s Y(s) - 3 = Y(s) - 2 X(s) \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} sX(s) - 2 X(s) + 3 Y(s) = 8 \\ s Y(s) - Y(s) + 2 X(s) = 3 \end{matrix} \right.$

$\displaystyle \left\{ \begin{matrix} (s - 2) X(s) + 3 Y(s) = 8 \\ 2 X(s) + (s - 1) Y(s) = 3 \end{matrix} \right.$

Aplicando el método de Cramer, los parámetros son

$\displaystyle \Delta = \left| \begin{matrix} (s-2) & 3 \\ 2 & (s-1) \end{matrix} \right| = s^2-3s-4$

$\displaystyle \Delta X(s) = \left|\begin{matrix} 8 & 3 \\ 3 & (s-1) \end{matrix} \right| = 8s-17$

$\displaystyle \Delta Y(s) = \left|\begin{matrix} (s-2) & 8 \\ 2 & 3 \end{matrix} \right| = 3s-22$

Entonces, $X(s)$ es

$\displaystyle X(s) = \frac{\Delta X(s)}{\Delta}$

$\displaystyle X(s) = \frac{8s-17}{s^2-3s-4}$

$\displaystyle X(s) = \frac{8s-17}{(s+1)(s-4)} = \frac{5}{s+1} + \frac{3}{s-4}$

$\displaystyle X(s) = \frac{5}{s+1} + \frac{3}{s-4}$

Al aplicar la transformada inversa de Laplace en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{5}{s+1} + \frac{3}{s-4} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [X(s)] = 5 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} + 3 \ \frac{1}{s-4} \right]$

$\displaystyle x(t) = 5 e^{-t} + 3e^{4t}$

Y $Y(s)$ es

$\displaystyle Y(s) = \frac{\Delta Y(s)}{\Delta}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{3s-22}{s^2-3s-4}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{3s-22}{(s+1)(s-4)} = \frac{5}{s+1} - \frac{2}{s-4}$

$\displaystyle Y(s) = \frac{5}{s+1} - \frac{2}{s-4}$

Aplicando la transformada inversa de Laplace en ambos miembros

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{5}{s+1} - \frac{2}{s-4} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{5}{s+1} \right] - \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{2}{s-4} \right]$

$\displaystyle \mathcal{L}^{-1} [Y(s)] = 5 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s+1} \right] - 2 \ \mathcal{L}^{-1} \left[\frac{1}{s-4} \right]$

Se concluye que,

$\displaystyle x(t) = 5 e^{-t} + 3e^{4t}$ y $\displaystyle y(t) = 5 e^{-t} - 2 e^{4t}$

Solución ecuaciones diferenciales ordinarias simultáneas utilizando la transformada de Laplace. Laplace.

Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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