Introducción al análisis de nodos. Circuitos eléctricos.

El análisis de nodos consiste en seleccionar los voltajes de nodo como variables del circuito. Estos voltajes de definen con respecto a un punto común en el circuito. Uno de los nodos se selecciona como referencia, y los voltajes de nodo restantes se definen con respecto a dicho nodo. A menudo, este nodo es el que tiene conectadas el mayor número de ramas. Se le denomina generalmente tierra, ya que se dice que tiene un potencial de tierra cero, y en ocasiones representa el chasis o la línea de tierra en un circuito práctico.

Las variables se seleccionan como positivas respecto del nodo de referencia, y los resultados del análisis indicarán si uno o más de los voltajes de nodo en realidad son negativos.

Para entender la utilidad de conocer todos lo voltajes del nodo en una red, se considera el siguiente circuito de la figura 1. Todos los voltajes $V_S$ , $V_a$ , $V_b$ y $V_c$ se miden con respecto al nodo inferior, el cual se selecciona como referencia y se representa con el símbolo de tierra. Entonces el voltaje en el nodo 1 es $V_S = 12 \ \text{V}$ con respecto al nodo de referencia 5; el voltaje en el nodo 2 es $V_a = 3 \ \text{V}$ con respecto al nodo de referencia, etc.

Figura 1. Circuito que muestra el valor de los voltajes de cada nodo.

Ahora, observando con atención, una vez de que se conocen los valores de nodo, es posible calcular inmediatamente cualquier corriente de rama o la potencia que absorbe o suministra cualquiera de los elementos, ya que se conocen los voltajes en todos los elementos de la red. Por ejemplo, el voltaje $V_1$ en el resistor de 9 kΩ de la extrema izquierda es la diferencia de potencial entre las dos terminales del resistor; esto es,

$\displaystyle V_1 = V_S - V_a$

$\displaystyle V_1 = 12 - 3$

$\displaystyle V_1 = 9 \ \text{V}$

En realida, esta ecuación es una aplicación LKV alrededor del lazo de la extrema izquierda; esto es,

$\displaystyle \sum_{j=1}^{n}{V_j} = 0$

$\displaystyle -V_S + V_1 + V_a = 0$

$\displaystyle V_1 = V_S - V_a$

De manera similar, se tiene que

$\displaystyle V_3 = V_a - V_b$

y que

$\displaystyle V_5 = V_b - V_c$

De esta forma, las corrientes en los resistores son

$\displaystyle I_1 = \frac{V_1}{9 \ \text{k}} = \frac{V_S - V_a}{5 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_3 = \frac{V_3}{3 \ \text{k}} = \frac{V_a - V_b}{3 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_5 = \frac{V_5}{9 \ \text{k}} = \frac{V_b - V_c}{9 \ \text{k}}$

Además

$\displaystyle I_2 = \frac{V_a - 0}{6 \ \text{k}} = \frac{V_a}{6 \ \text{k}}$

$\displaystyle I_4 = \frac{V_b - 0}{4 \ \text{k}} = \frac{V_b}{4 \ \text{k}}$

ya que el nodo de referencia tiene un potencial cero.

Así como regla general, cuando se conocen los voltajes de nodo de un circuito es posible calcular la corriente que pasa por cualquier elemento resistivo usando la ley de Ohm; esto es,

$\displaystyle i = \frac{v_m - v_N}{R}$

como se muestra en la figura 2.

Figura 2. Circuito para ilustrar la ley de Ohm en una red de nodos múltiplos.

Se concluye que un circuito de $N$ nodos se escribe una ecuación linealmente independiente de la LKC para cada uno de los $N-1$ nodos distintos al nodo de referencia, y la solución de este conjunto de ecuaciones simultáneas determina los $N-1$ voltajes de nodos desconocidos.