Series, puntos singulares y polos. Laplace.

Series de Taylor

Sea $f(z)$ analítica en un círculo de centro en $z=a$ . Entonces para todos los puntos $z$ del círculo la representación de $f(z)$ en serie de Taylor está dada por

$\displaystyle f(z) = f(a) + f'(a) (z-a) + \frac{f''(a)}{2!}(z-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(z-a)^3 + \cdots$

Puntos singulares

Un punto singular de una función $f(z)$ es un valor de $z$ en el cual $f(z)$ deja de ser analítica. Si $f(z)$ es analítica en todas las partes de alguna región, excepto en un punto interior $z=a$ , $a$ es una singularidad aislada de $f(z)$ .

Polos

Si $\displaystyle f(z) = \frac{\phi (z)}{(z-a)^n}$ , $\phi (a) \ne 0$ . donde $\phi (z)$ es analítica en una región que contiene a $z=a$ y si $n$ es un entero positivo, entonces $f(z)$ tiene una singularidad aislada en $z=a$ el cual se denomina polo de orden $n$ . Si $n=1$ , es decir, $\displaystyle f(z) = \frac{\phi (z)}{(z-a)}$ , el polo se llama polo simple (polo de primer orden); si $n=2$ , es decir, $\displaystyle f(z) = \frac{\phi (z)}{(z-a)^2}$ , el polo se llama polo doble (polo de segundo orden), etc.

Series de Laurent

Si $f(z)$ tiene un polo de orden $n$ en $z=a$ y es analítica en cualquier otro punto de algún círculo de $C$ de centro en $a$ , entonces $(z-a)^n \cdot f(z)$ es analítica en todos los puntos de $C$ y tiene serie de Taylor alrededor de $z=a$ de manera que

$\displaystyle f(z) = \frac{a_{-n}}{(z-a)^n} + \frac{a_{-n+1}}{(z-a)^{n-1}} + \cdots + \frac{a_{-1}}{z-a} + a_0 + a_1(z-a) + a_2 (z-a)^2$

Esta se llama serie de Laurent para $f(z)$ . La parte $a_0 + a_1(z-a) + a_2 (z-a)^2 + \cdots$ se llama parte analítica, en tanto que el resto, del que consiste en potencias de inversos de $z-a$ se llama la parte principal. Si generalmente se dice que las series $\displaystyle \sum_{k=-\infty}^{\infty}{a_k (z-a)^k}$ son series de Laurent, los términos con $k<0$ constituyen la parte principal. Una función analítica en una región comprendida entre dos circunferencias concéntricas de centro $z=a$ puede desarrollarse siempre en serie de Laurent.

De la serie de Laurent de una función $f(z)$ es posible definir varios tipos de singularidades. Por ejemplo, cuando la parte principal de una serie de Laurent tiene un número finito de términos y $a_{-n} \ne 0$ en tanto que $a_{-n-1}$ , $a_{-n-2}$ , … son todos nulos, entonces $z=a$ es un polo de orden $n$ . Si la parte principal tiene infinitos términos, $z=a$ se llama una singularidad escencial o un polo de orden infinito.

Publicado por Cesar Reyes

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Un comentario sobre “Series, puntos singulares y polos. Laplace.”

punto singular de una funcion dice:

9 mayo, 2022 a las 9:59 pm

Deberias postear muchos mas trabajos como este. Gracias, Un saludo

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