División de corriente para resistores (resistencias) y fuentes múltiples. Circuitos eléctricos.

Introducción

Se considera el circuito de la figura 1. Se ha supuesto que el nodo superior es de v(t) volts positivos con respecto al nodo inferior.

Figura 1. Circuito con resisotres y fuentes de corriente independientes.

Al aplicar la ley de Kirchhoff de corriente al nodo superior se obtiene

$-i_1 (t)+i_2 (t)+i_3 (t)-i_4 (t)+i_5 (t)+i_6 (t)=0$

$i_1 (t)-i_3 (t)+i_4 (t)-i_6 (t)=i_2 (t)+i_5 (t)$

Todos los términos del primer miembro de la ecuación representan fuentes que pueden combinarse algebraicamente en una sola fuente; esto es,

$i_o (t)=i_1 (t)-i_3 (t)+i_4 (t)-i_6 (t)$

Lo cual reduce en forma efectiva el circuito de la figura 1 al de la figura 2.

Figura 2. Circuito reducido de la figura 1.

Es posible generalizar este análisis para un circuito con $N$ fuentes de corriente. Las corrientes en el segundo miembro de la ecuación pueden expresarse en términos del voltaje y las resistencias individuales usando la ley de Ohm, con lo que la ecuación de la LKC se reduce a

$\displaystyle i_o (t) = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v(t)$

Ahora considerando el circuito con $N$ resistores en paralelo de la figura 3 y aplicando la ley de Kirchhoff de corriente al nodo superior, se obtiene

Figura 3. Circuito que ilustra una fuente de corriente y N resistores.

$\displaystyle \sum_{j=1}^N{i_j(t)} =0$

$i_o (t) - i_1 (t)- i_2 (t) - \cdots - i_N (t) = 0$

$i_o (t)=i_1 (t)+i_2 (t)+ \cdots +i_N (t)$

Aplicando la ley de Ohm

$\displaystyle i_o (t) = \frac{v(t)}{R_1} + \frac{v(t)}{R_2} + \cdots + \frac{v(t)}{R_N}$

$\displaystyle i_o (t) = \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_N} \right) v(t)$

$\displaystyle i_o (t) = \frac{v(t)}{R_P}$

Donde

$\displaystyle \frac{1}{R_P} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \cdots + \frac{1}{R_N} = \sum_{i=1}^N{\frac{1}{R_i}}$

De tal manera que en lo que a la fuente se refiere, la figura 3 puede reducirse al circuito equivalente que se muestra en la figura 4.

Figura 4. Circuito reducido de la figura 3.

La división de corriente de cualquier rama puede calcularse usando la ley de Ohm y las ecuaciones anteriores. Por ejemplo, para la j-ésima rama de la red de la figura 3,

$\displaystyle i_j (t) = \frac{v(t)}{R_j}$

En general,

$\displaystyle i_j (t) = \frac{R_P}{R_j} i_o (t)$

Que define la regla de la división de corriente para el caso general.

Problemas resueltos

Problema 1. Dado el circuito de la figura 5, se desea encontrar la corriente en el resistor de la carga es 12 kΩ.

Solución. Para simplificar la red de la figura 5 se suman algebraicamente las fuentes de corriente, y los resistores en paralelo se combinan de la siguiente manera; para las fuentes de corriente (usando LKC en el nodo superior)

$\displaystyle \sum_{j=1}^N{I_j} = 0$

$\displaystyle I_o = 1 \ \text{mA} - 4 \ \text{mA} + 2 \ \text{mA}$

$\displaystyle I_o = -1 \ \text{mA}$

Y para las resistencias

$\displaystyle \frac{1}{R_P} = \frac{1}{18 \ \text{k}} + \frac{1}{9 \ \text{k}} + \frac{1}{12 \ \text{k}}$

$R_P = 4 \ \text{k} \Omega$

Usando estos valores se puede reducir el circuito de la figura 5 al de la figura 6.

Figura 6. Circuito reducido de la figura 5.

Al aplicar la división de corriente se obtiene

$\displaystyle I_L = - \left( \frac{4 \ \text{k}}{4 \ \text{k} + 12 \ \text{k}} \right) (1 \ \text{m})$

$\displaystyle I_L = - \left( \frac{4 \times 10^3}{4 \times 10^3 + 12 \times 10^3} \right) (1 \times 10^{-3} )$

$I_L = -0.25 \ \text{mA}$

Problema 2. En la red de la figura 7, encuentre la potencia que absorbe el resistor de 6 kΩ.

Solución. Simplificando la red, los resistores en paralelo se combinan de la siguiente manera

$\displaystyle \frac{1}{R_P} = \frac{1}{4 \ \text{k}} + \frac{1}{12 \ \text{k}}$

$R_P = 3 \times 10^3 \ \Omega = 3 \ \text{k} \Omega$

Y para las fuentes de corriente (usando LKC en el nodo superior)

$\displaystyle \sum_{j=1}^N{I_j} = 0$

$\displaystyle I_o = - 6 \ \text{mA} + 4 \ \text{mA}$

$\displaystyle I_o = - 2 \ \text{mA}$

En la figura 8, se muestra la red simplificada.

Figura 8. Circuito reducido de la figura 7.

Calculando la corriente que fluye a través de 6 kΩ

$\displaystyle I_{6 \text{k} \Omega} = \left(\frac{3 \ \text{k}}{3 \ \text{k} + 6 \ \text{k}} \right)(2 \ \text{m})$

$\displaystyle I_{6 \text{k} \Omega} = 0.667 \ \text{mA}$

Finalmente, calculando la potencia en el resistor de 6kΩ

$\displaystyle P_{6 \text{k} \Omega} = I_{6 \text{k} \Omega}^2 (6 \ \text{k})$

$\displaystyle P_{6 \text{k} \Omega} = {(0.667 \times 10^{-3})}^2 (6 \times 10^3)$

$\therefore P_{6 \text{k} \Omega} = 2.67 \ \text{mW}$

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Introducción

Problemas resueltos

Publicado por Cesar Reyes

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