Trabajo de un gas al dilatarse y dilatación isoterma. Cálculo integral.

Trabajo de un gas al dilatarse

Si al dilatarse un gas en un cilindro empuja la cabeza de un émbolo de manera que el volumen del gas pase del volumen inicial en metros cúbicos ( $V_i$ ) hasta el volumen final en metros cúbicos ( $V_f$ ), el trabajo exterior que se realiza es, en kilográmetros

Trabajo $\displaystyle (T) = \int_{V_i}^{V_f}{P \, dV}$

donde $P$ es la presión en $\text{kg} / \text{m}^2$ .

Lo anterior se demuestra si se supondría que el volumen aumenta de $V$ a $VT \, dV$ . Sea $A$ el área de la sección transversal del cilindro. Entonces $\displaystyle \frac{dV}{A}$ es la distancia que mueve el émbolo. Dado que $P \, A$ es la fuerza que causa la dilatación $dV$ , se tiene que

$\displaystyle \text{Elemento del trabajo realizado} = PA \left(\frac{dV}{A} \right) = P \, dV$

De esta última igualdad se obtiene

$\displaystyle T = \int_{V_i}^{V_f}{P \, dV}$

al aplicar el teorema fundamental del cálculo integral.

Para aplicar $\displaystyle T = \int_{V_i}^{V_f}{P \, dV}$ , debe conocerse la relación entre $P$ y $V$ durante la dilatación. Dicha relación es $PV^n=C$ , siendo $C$ y $n$ constantes.

Al constituirse el diagrama de presión y volumen, con los volúmenes como abscisas y las presiones como ordenadas, el área bajo la curva es numéricamente igual al trabajo que se obtiene con $\displaystyle T = \int_{V_i}^{V_f}{P \, dV}$ .

Dilatación isoterma

Si la temperatura permanece constante, se presenta la dilatación isoterma. Entonces $n=1$ y la relación entre la presión y el volumen es $PV=P_i V_i=P_f V_f$ . Su representación gráfica da lugar a una hipérbola equilátera.

Problemas resueltos

Problema 1. La dilatación del gas contenido en un depósito cilíndrico desplaza un émbolo de manera que el volumen del gas aumenta de 15 a 25 $\text{cm}^2$ . Suponiendo que la relación entre la presión ( $\text{kp} / \text{cm}^2$ ) y el volumen ( $\text{cm}^3$ ) viene dada por $PV^1.4=60$ , calcular el trabajo realizado en la expansión.

Solución. Sea A el área de la sección del cilindro; en dichas condiciones, la fuerza ejercida por el gas es $P \, A$ . Un aumento de volumen $\Delta V$ hace suponer la elevación del pistón $\displaystyle \frac{\Delta V}{A}$ , donde el trabajo correspondiente a dicho desplazamiento es

$\displaystyle PA \left(\frac{\Delta V}{A} \right) = P \Delta V$

De $PV^{1.4}=60$ , se tiene que $\displaystyle P=\frac{60}{V^{1.4}}$ ; luego, $\displaystyle P \Delta V = \left(\frac{60}{V^{1.4}} \right) \Delta V$

Entonces

$\displaystyle T = \int_{15}^{25}{\frac{60}{V^{1.4}} \, dV} = 60\int_{15}^{25}{V^{-1.4} \, dV}$

$\displaystyle T = 60 \left[-\frac{1}{0.4} V^{-0.4} + C\right]_{15}^{25} = 60 \left\{ \left[-\frac{1}{0.4} (25)^{-0.4} \right] - \left[-\frac{1}{0.4} {(15)}^{-0.4} \right] \right\}$

$\therefore T = 9.384 \, \text{kp} \cdot \text{cm}$

Problema 2. Un cilindro contiene un volumen de aire sobre el que se apoya un émbolo. Sabiendo que cuando la presión es de 20 ( $\text{kp} / \text{m}^2$ ) el volumen es de 100 $\text{m}^3$ , calcular el trabajo realizado por el émbolo para comprimir el aire hasta 2 $\text{m}^3$ :

a) Suponiendo que $PV=C$

b) Suponiendo que $PV^{1.4}=C$

Solución del a). Considerando la relación entre la presión y el volumen está dada por $PV=C$ , $\displaystyle (20 \, \frac{\text{kp}}{\text{m}^2} )(100 \, \text{m}^3 )=2000 \, \text{kp} \cdot \text{m}$ .

Si $A$ es el área de la sección del cilindro, en tales condiciones la fuerza ejercida por el gas es $PA$ . Una disminución de volumen $dV$ hacer suponer la compresión del pistón de $\displaystyle \frac{dV}{A}$ , donde el trabajo realizado es

$\displaystyle PA \left(\frac{dV}{A} \right) = P \, dV$

De $PV=2000$ , se tiene $\displaystyle P = \frac{2000}{V}$ ; luego $\displaystyle P \, dV = \left(\frac{2000}{V} \right) \, dV$ . Entonces

$\displaystyle T = \int_{2}^{100}{\frac{2000}{V} \, dV} = \left[2000 \ln{V} + C \right]_2^{100}$

$\displaystyle T = 2000 \ln{100} - 2000 \ln{2} = 7824.046$

$\displaystyle \therefore T = 7824.046 \, kp \cdot m$

Solución del b). Considerando la relación entre la presión y el volumen está dada por $PV^{1.4} = C$ , entonces $\displaystyle \left(20 \, \frac{\text{kp}}{\text{m}^2} \right) (100 \ \text{m}^3 )^{1.4} = 12 619.147 \, \text{kg} \cdot \text{m}$ .

Si $A$ es el área de la sección del cilindro, en tales condiciones fuerza ejercida por el gas es $PA$ . Una disminución de volumen $dV$ hace suponer una compresión del pistón de $\displaystyle \frac{dV}{A}$ , donde el trabajo realizado es

$\displaystyle PA \left(\frac{dV}{A} \right) = P \, dV$

De $PV^{1.4} = 12 619.147$ , se tiene que

$\displaystyle P = \frac{12619.147}{V^{1.4}}$

Luego

$\displaystyle P \, dV = \frac{12619.147}{V^{1.4}} \, dV$

Entonces

$\displaystyle T = \int_2^{100}{\frac{12619.147}{V^{1.4}} \, dV}$

$\displaystyle T = 12619.147 \int_2^{100}{V^{-1.4} \, dV} = -\frac{12619.147}{0.4} \left[V^{-0.4} + C \right]_2^{100}$

$\displaystyle T = -\frac{12619.147}{0.4} \left({100}^{-0.4} - 2^{-0.4} \right) = 18 908.813$

$\displaystyle \therefore T = 18 908.913 \, \text{kp} \cdot \text{m}$

Problema 3. Nueve metros cúbicos de aire a la presión de 2 $kg/cm^2$ se comprimen a la presión de 8 $\text{kg} / \text{cm}^2$ .

a) Calcular el volumen y el trabajo realiza si se aplica la ley isoterma, es decir, $PV=C$ .
b) Calcular el volumen final y el trabajo realizado si se aplica la ley adiabática, es decir, $PV^{1.4}=C$ .

Solución del a). Puesto que $\displaystyle P_i = 2 \ \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}$ , $V_i=9 \, \text{m}^3=9 000 000 \, \text{cm}^3$ y $P_f = 8 \, \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}$ , entonces por

$\displaystyle P_i V_i=P_f V_f$

Se tiene que

$\displaystyle V_f = \frac{P_i V_i}{P_f} = \left(2 \ \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2} \right) \frac{9 000 000 cm^3}{8 \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}}$

$\displaystyle \therefore V_f = 2 250 000 \, \text{cm}^3 = 2.25 \, \text{m}^3$

Considerando que la relación entre la presión y el volumen está dada por $PV=C$ , es decir, $\displaystyle \left(2 \, \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2} \right)(9 000 000 \, \text{cm}^3) = 18 000 000 \, \text{kg} \cdot \text{cm} = 180 000 \, \text{kg} \cdot \text{m}$ .

De $PV=180 000$ , se tiene que

$\displaystyle P = {180 000}{V}$

Finalmente

$\displaystyle T = \int_{2.25}^{9}{\frac{180 000}{V} \, dV} = 180 000 \left[\ln{V} + C\right]_{2.25}^9$

$\displaystyle = 180000 \ln{9} - 180000 \ln{2.25} = 249 532.985$

$\displaystyle \therefore T = 249 532.985 \ \text{kg} \cdot \text{m}$

Se concluye que el volumen final y el trabajo realizado aplicando la ley isoterma es $2.25 \, \text{m}^3$ y $249 532.985 \, \text{kg} \cdot \text{m}$ , respectivamente.

Solución del b). Puesto que $\displaystyle P_i = 2 \, \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}$ , $V_i = 9 \, \text{m}^3 = 9 000 000 \text{cm}^3$ , $\displaystyle P_f = 8 \, \frac{\text{kg}}{\text{cm}^2}$ , entonces por

$\displaystyle P_i {V_i}^{1.4} = P_f {V_f}^{1.4}$

Despejando $V_f$ se tiene lo siguiente

$\displaystyle V_f = \sqrt[1.4]{P_i \, \frac{{V_i}^{1.4}}{P_f}} = \sqrt[1.4]{2 \cdot \frac{9 000 000^{1.4}}{8}}$

$\displaystyle \therefore V_f = 3 343 487.15 \, \text{cm}^3 = 3.343 \, \text{m}^3$

Considerando que la relación entre la presión y el volumen está dada por $PV^{1.4} = C$ , se tiene que $(2 \, \text{kg}/\text{cm}^2) (9 \, \text{m}^3)^{1.4} = (20 000 \, \text{kg}/\text{m}^2) (9 \, \text{m}^3)^{1.4} = 433 480.443 \, \text{kg} \cdot \text{m}$ .

De $PV^{1.4} = 433 480.443$ , despejando $P$ resulta

$\displaystyle P = \frac{433 480.443}{V^{1.4}}$

Entonces

$\displaystyle T = \int_{3.343}^9{\frac{433 480.443}{V^{1.4}} \, dV} = 433 480.443 \int_{3.343}^9{\frac{dV}{V^{1.4}}}$

$\displaystyle T = 433 480.443 \left[-\frac{1}{0.4} V^{-0.4} + C\right]_{3.343}^9$

$\displaystyle T = 433 480.443 \left[-\frac{1}{0.4} (9)^{-0.4} - \left(-\frac{1}{0.4} {(3.343)}^{-0.4} \right) \right]$

$\displaystyle \therefore T = 218 736.407 \, \text{kg} \cdot \text{m}$

Se concluye que el volumen final y el trabajo realizado aplicando la ley diabática es 3.343 $\text{m}^3$ y 218 736.407 $\text{kg} \cdot \text{m}$ , respectivamente.

Un comentario sobre “Trabajo de un gas al dilatarse y dilatación isoterma. Cálculo integral.”

calcular metros cúbicos a litros dice:

20 marzo, 2021 a las 11:52 am

me sirvio bastante…….

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Trabajo de un gas al dilatarse y dilatación isoterma. Cálculo integral.