Problemas de elementos de un circuito. Primera parte. Circuitos eléctricos.

Recordando la siguiente tabla

A continuación se muestra una serie de problemas resueltos de los elementos de un circuitos.

Problemas resueltos

Problema 1. Una resistencia tiene un voltaje aplicado de $V=1.5 \ (mV)$ . Calcular la corriente si la potencia absorbida es

a) $27.75 \ (nW)$

b) $1.20 \ (\mu W)$

Solución a). Tomando la fórmula de la potencia

$p = v \cdot i$

Despejando la corriente $i$

$\displaystyle i = \frac{p}{v}$

Sustituyendo

$\displaystyle i = \frac{27.75 \ (\mu W)}{1.5 \ (mV)} = \frac{27.75 \times 10^{-9} \ (W)}{1.5 \times 10^{-3} \ (V)}$

$i = 18.5 \times 10^{-6} \ (A) = 18.5 \ (\mu A)$

Solución b). Tomando la fórmula despejada

$\displaystyle i = \frac{1.20 \ (\mu W)}{1.5 \ (mV)} = \frac{1.20 \times 10^{-6} \ (W)}{1.5 \times 10^{-3} \ (V)}$

$i = 0.8 \times 10^{-3} (A) = 0.8 \ mA$

Problema 2. Por una resistencia de $5 \ (\Omega)$ circula una corriente de $i = 5 \times 10^{3}t \ (A)$ en el intervalo $0 \le t \le 2 \ ms$ . Calcular la potencia instantánea y media.

Solución. Para determinar la potencia instantánea, se toma la siguiente fórmula

$\displaystyle p(t) = v(t) \cdot i(t) = R \cdot i^2$

$\displaystyle p(t) = (5 \ (\Omega))(5 \times 10^{3} t \ (A))^2$

$\bf{p(t) = 125t^2 \times 10^6 \ (W) = 125 t^2 \ (MW)}$

Y para calcular la potencia media, su fórmula es la siguiente

$\displaystyle p_{media} = \frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}{p(t) \ dt}$

Sustituyendo y resolviendo la integral

$\displaystyle p_{media} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{125 t^2 \times 10^6 \ dt}$

$\displaystyle p_{media} = \frac{125 \times 10^6}{2 \times 10^{-3}} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{t^2 \ dt} = 62.5 \times 10^{9} \int_{0}^{2 \times 10^{-3}}{t^2 \ dt}$

$\displaystyle p_{media} = 62.5 \times 10^9 \cdot \frac{1}{3} (2 \times 10^{-3})^3 \ (W)$

$\bf{p_{media} = 166.667 \ (W)}$

Problema 3. Una corriente $i$ entra por la terminal positivo de un elemento generalizando de un circuito, siendo el voltaje entre el mismo de 3.91 (V). Calcular la corriente si la potencia absorbida es -25 (mW).

Solución. Tomando la fórmula de la potencia

$p = v \cdot i$

Despejando la corriente $i$

$\displaystyle i = \frac{p}{v}$

Y sustituyendo

$\displaystyle i = \frac{-25 \ (mW)}{3.91 \ (V)} = - \frac{25 \times 10^{-3} (W)}{3.91 \ (V)}$

$\displaystyle \bf{i = -6.394 \times 10^{-3} (A) = -6.394 \ (mA)}$

Problema 4. Deducir qué elemento simple de un circuito tiene un voltaje y una corriente en el intervalo $0 \le (1 \times 10^3 t) \le \pi$ dados por $i = 2 \sin{(1\times 10^3 t)} \ (mA)$ y $v = 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} \ (mV)$ .

Solución. Al tomar la ecuación para determinar el voltaje de un inductor (como hipótesis)

$\displaystyle v = L \cdot \frac{di}{dt}$

Sustituyendo y despejando $L$

$\displaystyle 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} = L \frac{d}{dt} [2 \sin{(1 \times 10^{3} t)}]$

$\displaystyle 5 \cos{(1 \times 10^3 t)} = L [2 \times 10^3 \cos{(1 \times 10^3 t)}]$

$\displaystyle L = \frac{5 \cos{(1 \times 10^3 t)}}{2 \times 10^3 \cos{(1 \times 10^3 t)}}$

$L = 2.5 \times 10^{-3} (H) = 2.5 \ (mH)$

Se concluye que el elemento es un inductor. Si se hubiera tomado la ecuación para determinar la corriente del capacitor, se tendría un resultado negativo en el valor de $C$ , por lo que un elemento pasivo no tendría valores negativos; fue por eso que se tomo la ecuación para el voltaje del inductor.

Problema 5. Una inductancia de 4 (mH) tiene un voltaje aplicado de $v = 2e^{-1000t} (V)$ . Calcular la energía máxima acumulada. Para $t=0$ la corriente es cero.

Solución. Primero se determina la corriente del inductor

$\displaystyle i (t) = \frac{1}{L} \int_0^t{v \ d\tau} + i_0$

$\displaystyle i (t) = \frac{1}{4 \ (m)} \int_0^t{2e^{-1000\tau} \ d\tau} + 0$

$\displaystyle i (t) = 500 \int_0^t{e^{-1000 \tau} \ d\tau}$

$\displaystyle i (t) = 500 \cdot \frac{1}{(-1000)} (e^{-1000 t} - 1)$

$\displaystyle i (t) = - 0.5 (e^{-1000 t} - 1)$

Después, se calcula la potencia

$p(t) = v(t) \cdot i(t)$

$p(t) = (2e^{-1000t}) \cdot [-0.5 (e^{-1000t} - 1)]$

$p (t) = -e^{-2000t} + e^{-1000t} \ (W)$

Para encontrar el valor de la energía máxima, en la integral, los límites a tomar son $t=0$ y $t=\infty$

$\displaystyle w_L = \int_{t_1}^{t_2}{p(t) \ dt}$

$\displaystyle w_L = \int_{0}^{\infty}{(-e^{-2000t} + e^{-1000t}) \ dt}$

$\displaystyle w_L = \frac{1}{2000}(0-1) - \frac{1}{1000}(0-1)$

$\displaystyle w_L = -0.0005 + 0.0010$

$\therefore \bf{\displaystyle w_L = 0.0005 \ J = 0.5 \ (mJ)}$

Problema 6. Un condensador de 2 ( $\mu F$ ) con una carga inicial $Q_0$ se conecta en serie con una resistencia de 10 ( $\Omega$ ). Obtener el valor de $Q_0$ si la energía disipada en la resistencia es 3.6 (mJ).